Fonctions de la variable réelle
21308 mots
86 pages
Fonction de la variable réelle Licence de Sciences et Technologie 2ème semestre 2007-2008Marie-Odile Perrain avec la collaboration de Nicolas Fournier
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Chapitre 1
FONCTIONS : GENERALITES LIMITES - CONTINUITE
1.1
1.1.1
Généralités
Définitions
Définition 1.1.1. On appelle fonction numérique de la variable réelle toute fonction f de E vers F avec E et F sous-ensembles de R. L’ensemble des réels ayant une image est appelé ensemble de définition de f et est noté D ou Df . Remarques 1. Pour simplifier le langage dans la suite on dira f fonction numérique ou f fonction. 2. Une fonction f de E vers F dont l’ensemble de définition est E est une application de E vers F . 3. Souvent f est donné par une formule, l’ensemble de définition D de f est le plus grand sous-ensemble de R (au sens de l’inclusion) tel que pour tout x ∈ D, l’expression f (x) ait un sens. Exemple. √ f (x) = x D = R+ . x f (x) = (x−1)(x+2) D = R \ {−2, 1}. 4. Lorsque nous considérons une fonction définie sur un intervalle I, il est sous-entendu que I est non vide et non réduit à un seul élément. (I =]a, a[ et I = [a, a] avec a ∈ R). Notations On note f : D → R une fonction définie sur D. f (D) = {f (x), x ∈ D} l’image de D par f . f −1 {0} = {x ∈ D, f (x) = 0} le noyau de f . Γ = {(x, f (x)); x ∈ D} le graphe de f (Γ est parfois noté Γf ). → → − − Représentation du graphe Soit un plan muni d’un repère (O, i , j ) (en général orthonormé). 3
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CHAPITRE 1. FONCTIONS : GENERALITES - LIMITES - CONTINUITE
On note C = {M (x, f (x)); x ∈ D}. → → − − C est la courbe représentative de f dans le repère (O, i , j ).
1.1.2
Exemples
Exemples 1.1.1. Fonction identité R → R La fonction id : est appelée fonction identité. x → x Exemples 1.1.2. Fonction caractéristique d’un ensemble A Soit A ⊂ R. R → R 1 si x ∈ A est appelée fonction caractéristique de A. La fonction 1A : x → 0 si x ∈ A Exemples 1.1.3. Fonction polynôme Soient n ∈ N et (a0 , a1 , . . . , an ) ∈ Rn+1 avec an = 0. R →