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Fonctions exponentielles et logarithmes

5430 mots 22 pages
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FONCTIONS EXPONENTIELLES - FONCTIONS LOGARITHMES
1. De la fonction exponentielle (de base e) à la fonction logarithme népérien
1.1. Théorème
La fonction exponentielle (de base e) est continue, strictement croissante sur  et : lim ex = 0 et

x ® -¥

lim ex = +¥

x ® +¥

Démonstration :
· Continuité
La fonction exponentielle est solution, sur , de l'équation différentielle y' = y. Elle est donc nécessairement dérivable sur  et par conséquent continue sur .
· Stricte monotonie
La fonction exponentielle est strictement positive sur  et égale à sa dérivée donc elle est strictement croissante sur .
Remarque : la croissance de l'exponentielle se traduit par : ex  ey Û x  y
(Voir illustration, figure 1)

Cette dernière propriété sera très utile pour établir des inégalités ou pour résoudre des inéquations.
· Limites
Montrons, tout d'abord, que pour tout x Î  : ex  x

Pour cela, on étudie les variations de la fonction g définie sur  par :

Technique à connaître : pour comparer deux quantités, on étudie le signe de

g(x) = ex - x

leur différence.

La fonction g est dérivable sur  et pour tout x Î  : g'(x) = ex - 1 = ex - e0
Comme la fonction exponentielle est croissante sur , on en déduit : x  0 Û ex  e0 Û g'(x)  0
D'où le sens de variation de la fonction g : x -¥
Signe de la dérivée g'

+¥

0

-

0

+

Variations de la fonction g
1
La fonction g admet un minimum m strictement positif en 0 : m = g(0) = e 0 - 0 = 1
Par conséquent la fonction g est strictement positive pour tout réel x, d'où : pour tout x Î , e x  x

Fonctions exponentielles et logarithmes

Page 1

G. COSTANTINI http://bacamaths.net/

Or, nous savons que lim x = +¥. x ® +¥

Du théorème de comparaison des limites, on en déduit que l'exponentielle admet une limite en +¥ et : lim e x = +¥

x ® +¥

Posons X = -x. Si x tend vers -¥ alors X tend vers +¥.
1
nous avons : e eX
1
= 0 (puisque lim e X = +¥) lim e x =

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