Fonctions exponentielles et logarithmes

Pages: 22 (5430 mots) Publié le: 15 janvier 2014
FONCTIONS EXPONENTIELLES - FONCTIONS LOGARITHMES
1. De la fonction exponentielle (de base e) à la fonction logarithme népérien
1.1. Théorème
La fonction exponentielle (de base e) est continue, strictement croissante sur  et :
lim ex = 0 et

x ® -¥

lim ex = +¥

x ® +¥

Démonstration :
· Continuité
La fonction exponentielle est solution, sur , de l'équation différentielle y' = y.Elle est donc nécessairement
dérivable sur  et par conséquent continue sur .
· Stricte monotonie
La fonction exponentielle est strictement positive sur  et égale à sa dérivée donc elle est strictement
croissante sur .
Remarque : la croissance de l'exponentielle se traduit par :
ex  ey Û x  y
(Voir illustration, figure 1)

Cette dernière propriété sera très utile pour établir desinégalités ou pour résoudre des inéquations.
· Limites
Montrons, tout d'abord, que pour tout x Î  :
ex  x

Pour cela, on étudie les variations de la fonction g définie sur  par :

Technique à connaître : pour comparer
deux quantités, on étudie le signe de

g(x) = ex - x

leur différence.

La fonction g est dérivable sur  et pour tout x Î  :
g'(x) = ex - 1 = ex - e0
Comme lafonction exponentielle est croissante sur , on en déduit :
x  0 Û ex  e0 Û g'(x)  0
D'où le sens de variation de la fonction g :
x -¥
Signe de la dérivée g'



0

-

0

+

Variations de la fonction g
1
La fonction g admet un minimum m strictement positif en 0 :
m = g(0) = e 0 - 0 = 1
Par conséquent la fonction g est strictement positive pour tout réel x, d'où :
pour tout x Î ,e x  x

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Or, nous savons que lim x = +¥.
x ® +¥

Du théorème de comparaison des limites, on en déduit que l'exponentielle admet une limite en +¥ et :
lim e x = +¥

x ® +¥

Posons X = -x. Si x tend vers -¥ alors X tend vers +¥.
1
nous avons :
e
eX
1
= 0 (puisque lim e X = +¥)
lim e x = limx ® -¥
X ® +¥ e X
X ® +¥

Compte tenu de la relation e x =

1

-x

=

La courbe de la fonction exponentielle admet donc, en -¥, une asymptote horizontale d'équation y = 0.
Ce qui achève la démonstration du théorème 1.1.
Exercices :
· Démontrer que, pour tout x Î  :

1 + x  ex

· Démontrer que, pour tout x Î +, on a :

1+x+

x2
 ex
2

· Déterminer l'approximationaffine de la fonction exponentielle au voisinage de 0.

1.2. Corollaire
La fonction exponentielle est une bijection de  sur  *
+
Démonstration :
On rappelle qu'une application ¦ : E ® F est une bijection lorsque tout élément l de F admet un et un seul
antécédent c dans E (ou de manière équivalente, l'équation ¦(x) = l admet une unique solution c dans E).
Soit l Î  * . Comme la fonctionexponentielle est continue et strictement croissante et à valeurs dans  * , le
+
+
théorème de bijection assure l'existence d'un unique c Î  tel que ec = l.
y

Cexp

3
e
2
l

Figure 1

1

-1

c

1

2

3

x

-1

Conséquence : l'exponentielle étant bijective, on a :
eA = eB Û A = B
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1.3 Définition
On appelle fonction logarithme népérien la bijection réciproque de la fonction exponentielle. On la note ln.
La fonction ln est donc définie sur  * et à valeurs dans  :
+
ln(x) n'a de sens que pour x > 0

r r
Soit M(x, y) un point de la courbe de la fonction logarithme (voir figure 2) dans un repère orthonormé ( O ; i , j ) .
On a donc x Î  * et y = ln(x).
+Comme la fonction ln est la bijection réciproque de la fonction exponentielle, on a alors x = ey. Donc le point
M'(y, x) est situé sur la courbe de la fonction exponentielle. Or, le point M'(y, x) est le symétrique(1) du point
M(x, y) par rapport à la droite D d'équation y = x. En conséquence :
Les courbes Cexp et Cln sont symétriques par rapport à la première bissectrice D (droite d'équation y...
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