I. Etudes de fonctions : rappels et prolongements
Fonctions irrationnelles.
1. Exercices de révision
Etudier les fonctions suivantes :
1. f1 (x) = 2x3 + x2 - 13x + 6
3x  5
2. f2 (x) =
1  2x

3. f3 (x) =

x3
4  x2

4. f4 (x) =

2x 2  6x  4 x2 2. Tangentes au graphe d'une fonction.
2.1 Tangente en un point donné du graphe d'une fonction
Soit à déterminer l'équation de la tangente au graphe de f2 (x) =

3x  5 au point d'abscisse 2.
1  2x

65
1
  nous avons la coordonnée complète d'un point de cette droite.
1 4
3
7
Dans l'étude de la fonction, nous avons déterminé la dérivée f ' (x) =
(1  2 x) 2
7
7

La pente de la tangente sera donc : f ' (2) =
2
9
(1  4)
1
7
L'équation de la tangente se détermine alors facilement : y +   (x - 2)  9y + 7x - 11 = 0
3
9
(On peut aisément le vérifier graphiquement.)
Exercice :
5
Déterminer l'équation de la tangente à cette même courbe au point d'abscisse (sol : 7y + 9x - 15 = 0)
3
Par le calcul de f(2) =

2.2 Tangente parallèle à une direction donnée.
Considérons à nouveau la fonction de l'exemple précédent. Nous allons maintenant nous intéresser à l'équation de la tangente à cette courbe parallèle à la droite d'équation y = - 7x.
7
Il faut donc déterminer une valeur de x telle que f ' (x) soit égal à - 7 : c-à-d
= - 7 La résolution de
(1  2 x) 2 cette équation nous donne 2 solutions : x = 0 ou x = 1 si x = 0 , f(0) = - 5 et t1  (0 , - 5) et de pente - 7  t1  y + 7x + 5 = 0 si x = 1 , f(1) = 2 et t2  (1 , 2) et de pente - 7  t2  y + 7x - 9 = 0
A nouveau, ce résultat peut être vérifié graphiquement.

2.3 Tangente au graphe d'une fonction comprenant un point donné
Considérons toujours la fonction de l'exemple précédent. Nous allons maintenant rechercher l'équation de la
(des) tangentes à cette courbe issue(s) d'un point donné.
 y  ax

a) t  (0, 0). Il faut donc que le système 
3x  5 admette une seule solution. En résolvant ce système par
 y  1  2 x substitution, nous obtenons l'équation –2ax2 + (a –