fonctions

Pages: 10 (2266 mots) Publié le: 25 janvier 2015
Lycée JANSON DE SAILLY
16 septembre 2014

ACTIVITÉ

2nde 10

FONCTIONS

1

On dispose d’une ficelle de longueur 51 cm que l’on coupe en deux. Avec un des morceaux on forme un carré,
et avec l’autre on forme un rectangle dont la longueur est le double de sa largeur.
Peut-on couper la ficelle de telle sorte que la somme des aires du carré et du rectangle soit minimale ?
On note x lalongueur de ficelle utilisée pour le carré.
x

?

1. a) Exprimer en fonction de x l’aire du carré.
b) Exprimer en fonction de x la longueur de ficelle utilisée pour le rectangle.
(51 − x)2
En déduire que l’aire du rectangle vaut
18
2. On note f la fonction qui à x associe la somme des aires du carré et du rectangle.
a) Quel est l’ensemble de valeurs possibles pour le réel x ?
b) Donnerune expression de f (x).
c) Recopier et compléter le tableau suivant :
x
0
5
10
15
20
25
30
35
f (x)

40

45

51

d) Donner une interprétation de f (0) et de f (51)
3. Dans le plan muni d’un repère orthogonal, on a tracé la courbe C f représentative de la fonction f
y

Cf
160
140
120
100
80
60
40
20

0

10

20

30

40

50

x

À partir du graphique,répondre aux questions suivantes :
a) Établir le tableau des variations de la fonction f .
b) Pour quelle valeur de x, la somme des aires du carré et du rectangle est minimale ?
c) On suppose qu’on ne coupe pas la ficelle et qu’on forme avec cette ficelle soit un carré soit un rectangle
dont la longueur est le double de sa largeur.
L’aire du rectangle est-elle supérieure à celle du carré ?
4.Calculer f (24) et interpréter le résultat.
A. YALLOUZ (MATH@ES)

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I

2nde 10

FONCTIONS

NOTION DE FONCTION

1

FONCTION

Définir une fonction f sur un ensemble D de nombres réels, c’est associer à chaque nombre x ∈ D un unique
nombre réel noté f (x). On note :
f: D →R

x → f (x)

– D est l’ensemble de définition dela fonction f . x est la variable.
– Le nombre f (x) est l’image du réel x par la fonction f .
– Quand on sait que f (x) = y, on dit que x est un antécédent de y par la fonction f .
EXEMPLE

f



2


est la fonction définie sur l’intervalle [0; +∞[ par f (x) = x.
L’ensemble de définition de la fonction f est
√ l’intervalle [0; +∞[.
L’image de 9 par la fonction f est f (9) = 9 =3.
9 est l’antécédent de 3 par la fonction f .
COURBE REPRÉSENTATIVE

Soit f une fonction définie sur un ensemble D de nombres réels.
La courbe représentative de la fonction f dans le plan muni d’un repère, est l’ensemble des points M(x; y) du
x∈D
plan tels que
.
y = f (x)
M(x; y)

y = f (x)

J

a
b

0

I

x

Cf
C f est la courbe représentative d’une fonction f définiesur D =] − ∞; a] ∪ [b; +∞[
RÉSOLUTION GRAPHIQUE D ’ ÉQUATION ET D ’ INÉQUATION

Soient C f la courbe représentative d’une fonction f et m un réel.
– Les solutions de l’équation f (x) = m sont les abscisses des points de la courbe C f d’ordonnée m.
– Les solutions de l’inéquation f (x) < m (respectivement f (x) > m ) sont les abscisses des points de la courbe
C f dont l’ordonnée est inférieureà m ( respectivement supérieure à m )
y

Cf

m
J

x1

x2

0

I

x3

x

L’ensemble des solutions de l’équation f (x) = m est S = {x1 ; x2 ; x3 }
L’ensemble des solutions de l’inéquation f (x) m est S = ]−∞; x1 ] ∪ [x2 ; x3 ]
A. YALLOUZ (MATH@ES)

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II

2nde 10

FONCTIONS

VARIATIONS

FONCTION CROISSANTEDire que la fonction f est croissante sur un intervalle I signifie que pour tous réels x1 et x2 de I.
Si x1

x2 alors f (x1 )

f (x2 )

On dit que la fonction f conserve l’ordre : les réels de l’intervalle I et leurs images par f sont rangés dans le
même ordre.
FONCTION DÉCROISSANTE

Dire que la fonction f est décroissante sur un intervalle I signifie que pour tous réels x1 et x2 de...
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