PROPRIETES DES DISTRIBUTIONS Notations Original f(t) ou T(t) t ∈R Distributions: Définitions Des Fonctions
+∞

TRANSFORMEE DE LAPLACE DISTRIBUTIONS

Toutes les relations s'entendent ∀ϕ Transformée Espaces de fonctions (sur à valeur dans ) = C∞: fonctions indéfiniment dérivables : fonctions C∞ à décroissance rapide

r

c

La notation T(x) est incorrecte mais très pratique !!!!

Egalité T1 = T2 si

=

T=0

si = 0

Lf(p) ou LT(p) p = x+iy ∈ c e-pt f(t) dt
0

E S D: fonctions C∞ à support borné D⊂S⊂E D S

Translation < T(x-a), ϕ(x)> = < T(x), ϕ(x+a)> Existe pour x > ξ abscisse de sommabilité Des Distributions
+

Lf (p) =
T∈
-xt

Homothétie = a a y LT (p) = F e T 2π LT (p) = < T, e–pt >

D' , e-xt T ∈ S'

Dérivation < T ', ϕ > = - < T, ϕ'> Propriétés

distributions à support borné: ' '⊂ '⊂ ' Notations: T distribution, ϕ fonction de l'espace de définition T(ϕ) = ∈

D S E⇒

Formes Linéaires Continues sur ⇒ distributions de Schwartz ' ⇒ distributions tempérées '

E S D

E

c

Exemples 1: Distributions régulières: à f (x) on associe Tf =
+∞ -∞

Exemples fondamentaux: Y'= δ Tf ' = f' + σ(a) δa

f(x) ϕ(x) dx
( au sens de l'intégrale de Lebesgues)

(σa = discontinuité en a)

' vp 1 = ln x ' Pf 12 = - vp 1 x

Confusion de notation: on écrit souvent f pour Tf
1 loc

x

x

T(t) T' T(t-a) T t a

Tf ∈ Tf ∈ Tf ∈ Ainsi:

LT (p) p LT (p) e-at LT (p) aLT (a p) S*T LS . LT -at Te LT (p+a) S'assurer que l'original ∈ D'
+

D' si f ∈ L S' si f est à croissance lente. E' si f est à support borné. Tx ∈ S', ∉ E' Tex ∈ D' ,∉ S'
2

Multiplication Produit d'une fonction α(x) et d'une distribution T < αT, ϕ> = T∈ ' et α∈ ⇒ αT∈ ' T∈ ' et α∈ M (C∞ à croissance lente) ⇒ αT∈ ' Bien comprendre la notation Yf(t) Yf'(t) (Yf)' t D S f(s) ds
0

O

E

D

S

(αT)' = α'T + αT'

Exemple 2: Distribution (ou masse) de Dirac. = ϕ(0) = ϕ(a) notée aussi δ(x-a)

Lf (p) p Lf (p) - f(0+) p Lf (p) 1 Lf (p) p