Quelques th´ eor` emes de g´ eom´ etrie du triangle
Z, auctore
1er novembre 2005

1

Propri´ et´ e des angles

Th´ eor` eme 1 Dans un triangle, la somme des trois angles vaut 180˚.
Pr´ecis´ement, pour un triangle ABC, on a la relation
A + B + C = 180
Cette relation permet de calculer la mesure en degr´es d’un angle d`es que l’on connaˆıt celles des deux autres.

2

Propri´ et´ es du cercle circonscrit

Il est bien connu que, pour tout triangle ABC, il existe un unique cercle passant par les trois sommets A, B et C : c’est le cercle circonscrit au triangle.
Son centre est situ´e `a l’intersection des m´ediatrices de chacun des cˆot´es du triangle : ce point est ´equidistant des sommets.
A

O

C

B

1

G´ eom´ etrie du triangle

2.1

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Le th´ eor` eme direct

On rappelle que, dans un triangle rectangle, le cˆot´e qui est oppos´e `a l’angle droit est appel´e hypot´enuse.
Th´
eor` eme 2 Pour tout triangle rectangle, le milieu de l’hypot´enuse est le centre du cercle circonscrit.

P

B
O
A

Lorsque l’angle AP B est droit, alors [AB] est un diam`etre du cercle circonscrit au triangle P AB. En cons´equence, la m´ediane [P O] issue de l’angle droit est un rayon du cercle, et donc mesure la moiti´e de l’hypot´enuse
P O = AB ÷ 2
Ce th´eor`eme permet de prouver que le sommet de l’angle droit est situ´e sur un cercle particulier ; il permet aussi de calculer la longueur de la m´ediane issue de l’angle droit.

2.2

La r´ eciproque Th´ eor` eme 3 Le triangle form´e en reliant un point situ´e sur un cercle aux extr´emit´es de l’un de ses diam`etres est un triangle rectangle.
Pr´ecis´ement, si [AB] est un diam`etre du cercle et si P est un point de ce cercle, alors le triangle P AB est rectangle en P .
C’est un th´eor`eme permettant de prouver qu’un triangle est rectangle.

2

G´ eom´ etrie du triangle

3
3.1

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Propri´ et´ es de Pythagore
Le th´ eor` eme direct

Th´ eor` eme 4 Dans un triangle rectangle, le carr´e de l’hypot´enuse est ´egal a la