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Pages: 8 (1909 mots) Publié le: 2 mars 2011
LIBAN BACCALAUREAT S 2003 Exercice 1 : Commun à tous les candidats

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Une urne contient 4 boules noires et 2 boules blanches. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On répète n fois l'épreuve qui consiste à tirer une boule puis à la remettre dans l'urne. On suppose que toutes les boules ont la même probabilité d'être tirées et que les tirages sont indépendants.On note pn la probabilité de tirer exactement une boule blanche lors des ( n -1) premiers tirages et une boule blanche lors du n-ième tirage. 1) Calculez les probabilités p2 , p3 et p4 . 2) On considère les événements suivants : Bn : " On tire une boule blanche lors du n-ième tirage " Un : " On tire une boule blanche et une seule lors des n -1 premiers tirages " a) Calculez la probabilité de Bn .b) Exprimez la probabilité de l'événement Un en fonction de n . c) Déduisez-en l'expression de pn en fonction de n et vérifiez l'égalité :

3) On pose Sn = p2 + p3 + .... + pn . a) Démontrez par récurrence que pour tout entier naturel n > 2 , on a :

b) Déterminez la limite de la suite ( Sn )

Correction Exercice 1: Sur un tirage, la probabilité d'obtenir une boule blanche est 1/3 etd'obtenir une boule noire est 2/3. Les tirages sont indépendants. 1. p2 = Probabilité d'avoir 2 boules blanches = (1/3)² . p3 = Probabilité d'avoir une boule blanche unique dans les 2 premiers tirages puis une blanche = 2*(1/3)*(2/3)*(1/3) = 4/27 p4 = Probabilité d'avoir une boule blanche unique dans les 3 premiers tirages puis une blanche = 3*(1/3)*(2/3)²*(1/3) = 4/27 2. a) L'événement Bn est "obtenirune boule blanche au n-ième tirage". Comme les résultats des tirages sont indépendants les uns des autres, on a: P(Bn) = 1/3 b) Pour Un , la boule blanche peut avoir n'importe quelle position dans les (n-1) premiers tirages, les boules autres dans les (n-1) premiers tirages sont noires. La dernière boule peut-être quelconque. Il y a (n-1) façons de placer la boule blanche patmi les (n-1) premièresboules donc: P(U n) = (n-1)*(1/3)*(2/3)n-2 . c) L'événement An :" exactement une blanche lors des ( n -1) premiers tirages et une blanche lors du n-ième tirage " est l'intersection de Un et de Bn . Ce qu'il se passe lors du dernier tirage est indépendants de ce qu'il est passe lors des (n-1) premiers tirages. Donc Un et Bn sont indépendants. D'où P(An) = P(Bn)*P(Un) . D'où pn =(n-1)*(1/3)*(2/3)n-2*(1/3) = (n-1)*(2/3)n/4 . 3. a) Pour n = 2 , S2 = p2 = (1/9) OR 1 - (2/2 + 1)(2/3)² = 1/9. L'égalité demandée est donc vraie pour n = 2. On fait l'hypothèse de récurrence " Sn = 1 - (n/2 + 1)(2/3)n . " On remarque alors que Sn + 1 = Sn + pn + 1 = 1 - (n/2 + 1)(2/3)n + n*(2/3)n + 1 /4 D'où , en mettant (2/3)n en facteur , on a: Sn + 1 = 1 - (2/3)n[(n/2 + 1) - n(2/3)/4] = 1 - (2/3)n + 1[(n+1)/2 +1] . On peut alors conclure par récurrence. b) On sait que D'où la suite (Sn) converge vers 1 . On en déduit alors que .

Exercice 2 : Candidat SPECIALITE Les suites d'entiers naturels ( xn ) et ( yn ) sont définies sur N par : x0 = 3 et xn + 1 = 2xn - 1, y0= 1 et yn + 1= 2yn + 3 1) Démontrez par récurrence que pour tout entier naturel n , xn= 2n+1 + 1 2) a) Calculez le pgcd de x8 et x9 puiscelui de x2002 et x2003 d'autre part . Que peut-on en déduire pour x8 et x9 d'une part, pour x2002 et x2003 d'autre part? b) xn et xn+1 sont-ils premiers entre eux pour tout entier naturel n ? 3) a) Démontrez que pour tout entier naturel n , 2xn - yn = 5 b) Exprimez yn en fonction de n . c) En utilisant les congruences modulo 5, étudiez suivant les valeurs de l'entier naturel p le reste de ladivision euclidienne de 2p par 5. d) On note dn le pgcd de xn et yn , pour tout entier naturel n . Démontrez que l'on a : dn = 1 ou dn = 5 . En déduire l'ensemble des entiers naturels n tels que xn et yn soient premiers entre eux.

Correction (indications)
1) Pour n =0 , 2n+1 + 1= 2+1 = 3 = x0 donc la propriété est vraie pour n = 0. On fait l'hyptothèse de récurrence xn = 2n+1 + 1 . xn+1 = 2xn - 1...
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