Démonstration de la dérivabilité de ln x
Cette démonstration a deux variantes assez éloignées l’une de l’autre et assez techniques l’une et l’autre !
Propriété
La fonction ln x est dérivable sur ]0;+∞[ et (ln x )' =

1 x Démonstration 1
Le principe
On travaille en deux temps : dérivable en 1 puis dérivable pour tout réel strictement positif
Pour retenir cette démonstration
Elle est assez difficile donc pas de découragement surtout !
On peut s’aider d’un schéma pour visualiser car on utilise les propriétés géométriques des courbes de ln x et de ex .
Les pré requis
La fonction exponentielle est dérivable , sa dérivée est elle-même
Les courbes des fonctions ln x et ex sont symétriques par rapport à la première bissectrice .
Les formules de calcul avec ln x
La démonstration
On note C la courbe de e x et C’ la courbe de ln x .
Soit D la première bissectrice
Montrons la dérivabilité en 1

Soit B(0 ;1) . Alors B est sur C .
Soit T la tangente à C en B .
Puisque la fonction exponentielle est dérivable sur R , le coefficient directeur de T est e0 = 1 .
Le coefficient directeur de D est aussi égal à 1
Donc T et D sont parallèles .

Démonstration de la dérivabilité de ln x
Par symétrie d’axe D , l’image de B est A(1 ;0) , l’image de C est C’ et donc l’image de T est
T’ tangente à C’ en A .
Puisque T et D sont parallèles , alors T’ et T sont aussi parallèles . l’image d’une droite parallèle à l’axe par une symétrie axiale est une droite parallèle .
Le coefficient directeur de T’ est donc 1 . ln x − ln 1 ln x − ln 1
Or par définition , le coefficient directeur de T’ est lim donc lim
= 1 et x →1 x →1 x −1 x −1 puisque 1 est fini , la fonction ln x est dérivable en 1 et son nombre dérivé en 1 est égal à 1 .
Montrons la dérivabilité en a réel strictement positif ln x − ln a
On cherche lim x →a x−a  x
 x ln   ln   ln x − ln a
a = 1 a
Or
= x−a x  ax  a − 1
 − 1
a 
a  ln x − ln 1 ln x
On