institut

Pages: 35 (8637 mots) Publié le: 11 décembre 2014
Calcul des prédicats
Résumé de cours
IUP MIAGE, Université de Nantes
(C. Retoré http://perso.wanadoo.fr/retore/christian)
6 octobre 2001

Table des matières
1

Introduction

3

2

Un exemple
2.1 Interprétation 1 . . . . . . . . .
2.2 Interprétation 2 . . . . . . . . .
2.3 Interprétation 3 . . . . . . . . .
2.4 Interprétation 4 . . . . . . . . .
2.5 Interprétation 5 . . . . . .. . .
2.6 Interprétation 6 . . . . . . . . .
2.7 Comparaison des interprétations

.
.
.
.
.
.
.

4
4
4
5
6
6
6
7

.
.
.
.
.
.
.
.

7
7
7
8
8
8
8
10
10

Interprétation d’une formule dans un modèle
4.1 Un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11
12

3

4

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

Formules du calcul des prédicats
3.1 Termes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Les formules du calcul des prédicats . . . . . . .
3.2.1 Formules atomiques . . . . . . . . . . .
3.2.2 Formules. . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Occurrences libres et liées d’une variable
3.2.4 Exemple 1 . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.5 Exemple 2 . . . . . . . . . . . . . . . .

1

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
..
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

5

Extension du calcul des séquents aux prédicats

15

6

Complétude du calcul des prédicats

17

7

Distributivité de la quantification universelle sur la conjonction et de
la quantificationexistentielle sur la disjonction
17

8

Formes prénexes

18

9

Formes de Skolem

20

10 Formes clausales et théorème de Herbrand

21

11 Le mécanisme de Prolog

23

2

Ce cours a été rédigé assez rapidement, merci de me signaler les erreurs, pour
les versions ultérieures.

1 Introduction
Le calcul des propositions est bien trop limité pour décrire des situations
réelles. Eneffet il ne permet que de décrire des phrases dont la vérité ne dépend
pas des individus (par exemple « Il pleut. »); il ne peut pas représenter des phrases
qui mettent en jeu des individus ou des objets (par exemple « Si x est le père de
y et si z est le père de x alors z est un grand-père de y » ou « Tout individu a un
père. »).
Le calcul des prédicats permet d’exprimer de telles relationsentre individus,
qui sont soit vraies soit fausses suivant la valeur que l’on donne aux symboles de
relation appelés prédicats et aux individus intervenant dans les formules. C’est la
différence essentielle entre le calcul des prédicats et le calcul des propositions.
Pour cela on aura aussi recours à des fonctions, qui à un certain nombre d’entités
associent une entité. Par exemple, à unindividu on peut associer son père, ou à
deux nombres leur somme etc. Attention : en logique tous les individus sont de
même type, et on peut donc appliquer les fonctions à tous les individus.
Néanmoins le calcul des prédicats est très similaire à celui des propositions.
On aura des formules définies inductivement à partir des symboles de prédicats et
de fonctions. On les interprétera dans diversmondes possibles et alors elles deviendront vraies ou fausses. On aura également un système formel pour démontrer ou réfuter des formules. Les formules démontrables seront bien sûr vraies
dans toute interprétation (validité du calcul) et les formules vraies dans toute interprétation seront démontrables (complétude) — en cela le calcul des prédicats
est semblable au calcul des propositions....
Lire le document complet

Veuillez vous inscrire pour avoir accès au document.

Vous pouvez également trouver ces documents utiles

  • Institut
  • Les institutes de gaïus
  • Goethe institut
  • Gaius Institutes
  • Gaius, institutes
  • Institut de beauté
  • Institut pasteur
  • Instituts de beauté

Devenez membre d'Etudier

Inscrivez-vous
c'est gratuit !