Exercices : Barbara Tumpach Relecture : François Lescure

Exo7

Intégrale de Riemann

1 Rappel
Soient f une fonction bornée et σ = {a0 = a < a1 < · · · < an = b} une subdivision de [a, b]. On note : mk = inf{ f (x), x ∈ ]ak−1 , ak [} et Mk = sup{ f (x), x ∈ ]ak−1 , ak [ }. On appelle somme de Riemann inférieure relativement à σ la quantité : Sσ := ∑n mk (ak − ak−1 ) . De même, la somme supérieure de Riemann de f k=1 f σ relativement à σ est égale à S f := ∑n Mk (ak − ak−1 ) . La somme inférieure de Riemann de f est définie par : k=1 σ S f = supσ Sσ . La somme supérieure de Riemann de f est définie par : S f = infσ S f . f Définition. Une fonction f est Riemann-intégrable sur [a, b] si S f = S f . L’intégrale de f sur [a, b] est alors définie par : ab f (x) dx = S f = S f . Théorème. Une fonction f bornée est intégrable au sens de Riemann sur [a, b] si et seulement si pour tout ε > 0, il existe une subdivision σ de [a, b] telle que S f ≤ Sσ + ε. f σ 2

Propriétés de l’intégrale de Riemann

Exercice 1 En utilisant la définition d’une fonction intégrable au sens de Riemann, montrer les propriétés suivantes : 1. Si f et g sont Riemann-intégrables sur [a, b], alors f + g est Riemann-intégrable sur [a, b]. 2. Si f est Riemann-intégrable sur [a, b] et λ ∈ R, alors λ f est Riemann-intégrable sur [a, b]. 3. Si f et g sont deux fonctions Riemann-intégrables sur [a, b] telles que, pour tout t ∈ [a, b], f (t) ≤ g(t), alors ab f (t) dt ≤ ab g(t) dt. 4. Une limite uniforme de fonctions Riemann-intégrables sur [a, b] est Riemann-intégrable sur [a, b].
Correction
[005917]

3 Quelles sont les fonctions Riemann-intégrables ?
Exercice 2 Montrer qu’une fonction monotone sur [a, b] est Riemann-intégrable sur [a, b].
Correction
[005918]

Exercice 3 Montrer qu’une fonction continue sur [a, b] est Riemann-intégrable sur [a, b].
Correction
[005919]

Exercice 4 1

1. Montrer que la fonction f : [0, 1] → R définie par : f (x) = n’est pas Riemann-intégrable sur [0,