Ecrit 2-2013

CAPES Mathématiques

Epreuve 1. Problème 1 : nombres irrationnels
Vous trouverez l’énoncé complet sur le site du CAPES : http://capes-math.org/data/uploads/EP1_2013.pdf

1. Exemple de nombres irrationnels
1. Supposons

n rationnel. Il existe deux entiers naturels p et q premiers entre eux tels que :

n=

p et q

dans ce cas : p 2 = n q 2 . Or, si p et q sont premiers entre eux, les entiers p2 et q2 le sont aussi1… D’après le théorème de Gauss, p2 divise n : il existe un entier naturel u tel que : n = p 2 u .
Ou bien n = u = 0 auquel cas n est entier, de même que sa racine carrée, ou bien les entiers u et q vérifient la relation : 1 = u q 2 qui n’est réalisée que si 1 = u = q 2 , ce qui implique que q = 1 et p 2 = n . L’entier n est

un carré. Ainsi, implique n rationnel implique

n entier naturel. Par contraposition,

n non entier naturel

n irrationnel.

2. Un nombre premier n’a pas de diviseur strict, ce n’est donc pas un carré. Sa racine n’est pas un entier donc est irrationnelle.
3. Supposons

ln 2 ln 2 p rationnel. Il existerait deux entiers naturels p et q premiers entre eux, tels que :
=
ln 3 ln 3 q

donc tels que : 2 q = 3 p . Les entiers2 et 3 étant premiers entre eux, cette égalité ne pourrait avoir lieu que si les exposants sont nuls, ce qui contredirait l’hypothèse « p et q premiers entre eux ».

4. Question classique

2. Preuve de l’irrationalité de π
1. 1. P ' n (x ) = (a − 2b x )Pn −1 ( x )
1.2. Au rang 1 : P '1 ( x ) = (a − 2b x )P0 (x ) = a − 2b x . Cette dérivée est > 0 pour 0 < x <

π
2

=

a π
=
et < 0 pour
2b 2

a a  π
< x < = π . La fonction P1 s’annule en zéro et en π, est strictement croissante sur 0 ;  et
2b
b
2


π a
π
 strictement décroissante sur  ; π  . Elle admet un maximum en
=
. Si on suppose que Pn −1 a ces
2 2b
2
 trois propriétés, au rang suivant n, la fonction Pn s’annule aussi en zéro et en π, et d’après l’expression de