Universit´ Hassan II Mohammedia - Casablanca e ´ Ecole Nationale de Commerce et de Gestion de Casablanca

TD 1 Probabilités - Statistique Exercices théoriques :
Exercice 1. Soit E, F et G trois événements. Écrire en fonction de ces trois événements, les événements suivants : 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Seulement F se réalise ; Les deux événements E et F se réalisent mais pas G ; Au moins un des événements se réalise ; Au moins deux des événements se réalisent ; Les trois événements se réalisent ; Aucun des trois ne se réalise ; Au plus un se réalise ; Au plus deux se réalisent.

Exercice 2.

Soit E et F deux événements d’un espace fondamental Ω. Montrer les égalités suivantes : 1. E = (E ∩ F ) ∪ (E ∩ F ) ; 2. E ∪ F = E ∪ (F ∩ E). En déduire que P (E ∪ F ) = P (E) + P (F ) − P (E ∩ F ). Exercice 3.

Soit E et F deux événements d’un espace fondamental Ω. Montrer que si E ⊂ F , alors : P (F ) = P (E) + P (F ∩ E) ≥ P (E).

Exercice 4. **

Soit E1 , E2 , . . . , En des événements d’un espace fondamental Ω. Montrer que :

Exercice 5. ***

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P (E1 ∩ E2 · · · ∩ En ) = P (E1 ) × P (E2 |E1 ) × P (E3 |E1 ∩ E2 ) × · · · × P (En |E1 ∩ E2 ∩ · · · ∩ En−1 ).
∞

Soit (Ek )k∈N une suite d’événements, d’un espace fondamental Ω, tels que : Ek ⊂ Ek+1 pour tout k ∈ N. Montrer que : P k=1 Ak

= lim P (Ak ). k→∞ Exercice 6 (Inégalité de Boole). *** Soit E1 , E2 , . . . , En des événements quelconques, d’un espace fondamental Ω. Montrer que : n n

P k=1 Ek

≤ k=1 P (Ek ).

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Exemples pratiques :
Exercice 7. Soit E et F deux événements d’un espace fondamental Ω. On suppose que P (E) = 0.3. Que peut-on dire de P (E|F ) si : 1. E et F sont mutuellement exclusifs ? 2. E implique F ? 3. F implique E ? Exercice 8. On lance 3 fois une pièce de monnaie bien équilibrée : 1.