Je ne sais pas

Pages: 5 (1075 mots) Publié le: 12 novembre 2012
Universit´ Hassan II Mohammedia - Casablanca e ´ Ecole Nationale de Commerce et de Gestion de Casablanca

TD 1 Probabilités - Statistique Exercices théoriques :
Exercice 1. Soit E, F et G trois événements. Écrire en fonction de ces trois événements, les événements suivants : 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Seulement F se réalise ; Les deux événements E et F se réalisent mais pas G ; Au moins un desévénements se réalise ; Au moins deux des événements se réalisent ; Les trois événements se réalisent ; Aucun des trois ne se réalise ; Au plus un se réalise ; Au plus deux se réalisent.

Exercice 2.

Soit E et F deux événements d’un espace fondamental Ω. Montrer les égalités suivantes : 1. E = (E ∩ F ) ∪ (E ∩ F ) ; 2. E ∪ F = E ∪ (F ∩ E). En déduire que P (E ∪ F ) = P (E) + P (F ) − P (E ∩ F ).Exercice 3.

Soit E et F deux événements d’un espace fondamental Ω. Montrer que si E ⊂ F , alors : P (F ) = P (E) + P (F ∩ E) ≥ P (E).

Exercice 4. **

Soit E1 , E2 , . . . , En des événements d’un espace fondamental Ω. Montrer que :

Exercice 5. ***

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P (E1 ∩ E2 · · · ∩ En ) = P (E1 ) × P (E2 |E1 ) × P (E3 |E1 ∩ E2 ) × · · · × P (En |E1 ∩ E2 ∩ · · · ∩ En−1 ).


Soit (Ek )k∈N une suite d’événements, d’un espace fondamental Ω, tels que : Ek ⊂ Ek+1 pour tout k ∈ N. Montrer que : P
k=1

Ak

= lim P (Ak ).
k→∞

Exercice 6 (Inégalité de Boole). *** Soit E1 , E2 , . . . , En des événementsquelconques, d’un espace fondamental Ω. Montrer que :
n n

P
k=1

Ek


k=1

P (Ek ).

1



Exemples pratiques :
Exercice 7. Soit E et F deux événements d’un espace fondamental Ω. On suppose que P (E) = 0.3. Que peut-on dire de P (E|F ) si : 1. E et F sont mutuellement exclusifs ? 2. E implique F ? 3. F implique E ? Exercice 8. On lance 3 fois une pièce de monnaie bien équilibrée : 1.Déterminer l’ensemble Ω. L’hypothèse d’équiprobabilité est-elle fondée ? 2. On considère les événements suivants : A : l’événement on obtient une seule fois pile, B : l’événement on obtient au moins une fois pile, C : l’événement on obtient au moins une fois pile et au moins une fois f ace. Calculer la probabilité des événements A, B, C, A ∪ B, A ∪ C, B ∪ C, A ∪ B ∪ C, ¯ ¯ ¯ A ∩ B, A ∩ C, B ∩ C, A, B,C, et A ∩ B. ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 3. Calculer la probabilité des événements A ∩ B, C ∩ B et A ∩ B ∩ C. Exercice 9. Le gérant d’un magasin de matériel informatique a acheté un stock de boîtes de disquettes. 5% des boîtes sont abîmées. Le gérant estime que : – 60% des boîtes abîmées contiennent au moins une disquette défectueuse, – 98% des boîtes en bon état ne contiennent aucune disquette défectueuse, –Les états des diverses boîtes sont indépendants les uns des autres. Un client achète une des boîtes du lot. Soit : – A : l’événement “ La boîte achetée est abîmée,” – D : l’événement “La boîte achetée contient au moins une disquette défectueuse.” ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1. Donner les probabilités P (A), P (A), P (D|A), P (D|A), P (D|A) et P (D|A). 2. Calculer la probabilité de l’événement D. 3. Le clientconstate qu’une des disquettes est défectueuse. Quelle est la probabilité qu’il achète une boîte abîmée ? Exercice 10. En 2000 les quatre principales causes de décès en France étaient les maladies circulatoires, les tumeurs, les morts violentes et les maladies de l’appareil respiratoire. La répartition hommes-femmes de ces quatre causes de décès est consignée dans le tableau ci-dessous. Hommes 75 045 89821 24 885 18 275 208 026 Femmes 86 710 59 880 16 720 17 498 180 808 Total 161 755 149 701 41 605 53 773 388 834

Maladies circulatoires (C) Tumeurs (T) Morts violentes (V) Appareil respiratoire (R) Total

On choisit au hasard “un décès” parmi 388 834 répertoriés dans le tableau ci-dessus. Notons C l’événement la cause du décès est une maladie circulatoire, et, T, V et R les trois autres...
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