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Les calculatrices sont interdites















































1/4

La fonction Dilogarithme
Dans tout le probl`eme, ln d´esigne le logarithme n´ep´erien.
On consid`ere la fonction f d´efinie sur ] − ∞, 1[ par :
⎧
ln(1 − t)
⎪
⎨ − t ∈ ]−∞, 0[ ∪ ]0, 1[ t . f (t) =
⎪
⎩
1
t=0
Dans ce probl`eme, on s’int´eresse `a la fonction Dilogarithme d´efinie pour tout x de [−1, 1[ par :
L(x) = −

x
0

ln(1 − t) dt = t x

f (t) dt.

0

+∞

1
. La partie II est consacr´ee a` une ´etude de la r´egularit´e de f . k2 k=1
Dans la partie III, on d´etermine le d´eveloppement en s´erie enti`ere de L et on d´eduit ensuite le prolong´e de L en 1. Dans la partie IV, on r´esout une ´equation diff´erentielle.
Dans la partie I, on calcule

Les diff´erentes parties de ce probl`eme ont un lien entre elles, mais peuvent ˆetre trait´ees s´epar´ement.
+∞

I. Calcul de k=1 1 k2 Soit g : R −→ R , p´eriodique de p´eriode 2π, telle que :
∀x ∈ ]−π, π] ,

g(x) = x.

+∞

1
(ak cos(kx) + bk sin(kx)) la somme de la s´erie de Fourier de g. On
Soit S : x −→ a0 +
2
k=1 admet provisoirement l’existence de cette somme, existence qui sera d´emontr´ee `a la question 4.
1.