La jalousie

Pages: 5 (1152 mots) Publié le: 5 juin 2012
Détermination de la stabilité à partir du critère de Nyquist
Un système continu en boucle fermée à retour unitaire est asymptotiquement stable à la condition nécessaire et suffisante que son lieu de transfert en boucle ouverte parcouru de ω = - ∞ à ω = + ∞ entoure le point critique dans le sens trigonométrique un nombre de fois égal au nombre des pôles instables de la fonction de transfert enboucle ouverte.
C'est une conséquence à peu près immédiate du théorème des résidus.

Démonstration du critère

a) Lemme fondamental
• Soit F(p) une fonction de la variable complexe p : c'est un nombre complexe dont le module et l'argument sont fonction de p. Si le point d'affixe p décrit une courbe fermée (C) dans le plan complexe, le point d'affixe F(p) décrit un lieu (L) de forme plus oumoins compliquée, et les lieux (C) et (L) se correspondent point par point. 
 
 
[pic]
Cela étant, on démontre que le nombre de fois que le lieu( L) entoure l'origine est lié au nombre de pôles et de zéros de F(p) qui sont situés à l'intérieur de la courbe fermée (C).
Quand le point p décrit complètement la courbe (C) dans le sens des aiguilles d'une montre, lavariation totale de la phase de F(p) comptée positivement dans le sens trigonométrique est égale à
[pic]
P et Z étant les nombres respectifs de pôles et de zéros (comptés avec leur ordre de multiplicité) de la fonction F(p) situés à l'intérieur de la courbe (C). 
En d'autres termes, le nombre de tours N qu'effectue dans le sens trigonométrique le lieu de F(p) autour del'origine est donné par 
N= P - Z
b) Application à F(p)=1+H(p) et au contour de Nyquist
• Soit F(p) la fonction suivante : F(p)= 1+H(p). La courbe fermée (C) est constituée de la manière suivante et appelée contour de Nyquist :
1. une parallèle à l'axe des quantités imaginaires située infiniment près à droite;
2. une demi-circonférence, de rayon infiniment grand située dansle demi-plan de droite;
[pic]
Infiniment veut dire que ce contour (C) comprend à son intérieur tout pôle ou zéro de 1+H(p) à partie réelle strictement positive. 
• L'image du point origine (p=0) mérite un peu d'attention. 
Lorsque H(p) ne contient pas de pôles à l'origine, le contour (C) passe par l'origine et H(p)= K, gain statique du système. 
Si H(p) contientdes termes en K/pnI, c’est à dire nI intégrateurs, le contour doit entourer le point p=0 par un demi-cercle de rayon infiniment petit ε. Le domaine de variation de p sur ce demi-cercle est ε€ejθ, θ∈ [−π /2,+π /2]€et l’on a€: 
[pic] 
Le module de H(p) → ∞ et l’argument varie de +nIπ /2 à - nI π/2 dans le sens anti-trigonométrique si K > 0 (et trigonométrique si K < 0).
• Lorsque Mdécrit le contour C dans le sens des aiguilles d'une montre, le point d'affixe 1+H(p) décrit dans le sens des fréquences croissantes le lieu de transfert 1+H(jω) complété par son symétrique 1+H(-jω) et éventuellement par un nombre de demi-cercles de rayon infiniment grand égal au nombre d'intégrateurs. 
Le théorème précédent donne alors, si l'on appelle:
1. Z = nombre des zéros de1+H(p) à partie réelle strictement positive,
2. P = nombre des pôles de 1+H(p) à partie réelle strictement positive,
chacun étant compté avec son ordre de multiplicité, la variation de phase de 1+H(p) lorsque ω croît de - ∞ à + ∞. Elle a pour valeur :
[pic]
c) Expression équivalente
• Les fonctions H(p) et 1+H(p) ont les mêmes pôles. Si l'on appelle point critique lepoint d'affixe (-1 ; j0) l'énoncé ci dessus est alors équivalent au suivant : 
Lorsque, dans le plan complexe p, l'image de p décrit une fois le contour de Nyquist dans le sens des aiguilles d'une montre, l'image de H(p) tourne dans le sens trigonométrique autour du point critique d'un nombre de tours N égal à
N= P - Z
où Z est le nombre de zéros de 1+H(p) à partie réelle...
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