I. Sens de variation
1) Rappels
Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
• f est croissante sur I lorsque pour tous a et b de I tels que a < b, on a f (a )≤ f (b) .
On dit que f conserve le sens des inégalités.
• f est strictement croissante sur I lorsque pour tous a et b de I tels que a < b, on a f (a )< f (b) .
• f est décroissante sur I lorsque pour tous a et b de I tels que a < b, on a f (a )≥ f (b) .
On dit que f inverse le sens des inégalités.
• f est strictement décroissante sur I lorsque pour tous a et b de I tels que a < b, on a f (a )> f (b) .
• f est constante sur I lorsque pour tous a et b de I tels que a < b, on a f (a )= f (b) .
• f est monotone sur I si elle est croissante ou décroissante sur I
2) Fonctions de référence
a) Fonction affine f (x )=a x+ b
Propriété : • si a > 0, alors f est strictement croissante sur ℝ
• si a < 0, alors f est strictement décroissante sur ℝ
• si a = 0, alors f est constante sur ℝ
b) Fonction carré f (x )=x 2
Propriété : • la fonction carré est strictement décroissante sur ]-∞ ; 0]
• la fonction carré est strictement croissante sur [0 ; +∞[
c) Fonction inverse f ( x )=

1 x Propriété : • la fonction inverse est strictement décroissante sur ]-∞ ; 0[
• la fonction inverse est strictement décroissante sur ]0 ; +∞[
II. Valeur absolue
Définition : La fonction valeur absolue est définie sur ℝ par f (x )=∣x∣ et vérifie :
• si x est positif, alors ∣x∣=x ;
• si x est négatif, alors ∣x∣=−x
Sur une droite graduée d'origine O, si x est l'abscisse d'un point M, alors la valeur absolue de x mesure la distance OM.
Exemples :
Propriétés : Pour tous x et y,
• ∣x∣=0 est équivalent à x = 0
• ∣x y∣=∣x∣×∣y∣

• ∣−x∣=∣x∣

• si y≠0 ,

∣xy∣=∣∣xy∣∣

• √ x 2=∣x∣
• ∣x∣=∣ y∣ est équivalent à x = y ou x = –y
• ∣x+ y∣≤∣x∣+ ∣y∣ (inégalité triangulaire)

Propriété : • la fonction valeur absolue est strictement décroissante sur ]-∞ ; 0]
• la fonction valeur absolue est strictement croissante sur [0 ; +∞[
Représentation graphique :