le colonialisme

Pages: 8 (1926 mots) Publié le: 24 février 2014
Dérivées et primitives des 24 fonctions trigonométriques
Introduction 
Cet article expose les fonctions trigonométriques circulaires, hyperboliques, directes et réciproques (24 fonctions au total), avec l'ensemble de définition, la dérivée et la primitive de chacune d'entres elles.
Sommaire de cette page
   Les relations de base entre les fonctions trigonométriques
   Les 6 fonctionstrigonométriques circulaires directes :
Ensemble de définition
Dérivée et primitive
   Les 6 fonctions trigonométriques circulaires réciproques :
Ensemble de définition
Dérivée et primitive
   Les 6 fonctions trigonométriques hyperboliques directes :
Ensemble de définition
Dérivée et primitive
   Les 6 fonctions trigonométriques hyperboliques réciproques :
Ensemble de définition
Dérivée etprimitive
 
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Les relations de base entre les fonctions trigonométriques
Les 3 fonctions de base sont le sinus, le cosinus et la tangente.
La cotangente, la sécante et la cosécante ne sont que les fonctions inverses des 3 fonctions de base : 
    - la cotangente est l'inverse de la tangente
    - la cosécante est l'inverse du sinus
    - la sécante est l'inverse ducosinus
et ce, aussi bien en version circulaire qu'hyperbolique comme indiqué dans le tableau suivant :
Fonctions circulaires
Fonctions hyperbolques






Sachant que le rapport du sinus sur le cosinus est égal à la tangente, on en déduit les relations suivantes :
Fonctions circulaires
Fonctions hyperbolques




On remarque dans le tableau précédent une des utilités de la sécante etde la cosécante :
la sécante permet de définir la tangente par un simple produit
la cosécante permet de définir la cotangente par un simple produit
Dans certains cas l'emploie des fonctions sécante et cosécante permet d'éviter les fractions, ce qui est particulièrement utile pour le calcul de dérivées ou de primitives par exemple.
 
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Nom et ensemble de définitiondes 24 fonctions trigonométriques 
Ce paragraphe indique le nom complet, le symbole mathématique, et l'ensemble de définition de chacune des 24 fonctions trigonométriques.
Bien que certaines fonctions puissent parfois être identifiées par plusieurs noms différents (ex : sh ou sinh pour le sinus hyperbolique, tg ou tan pour la tangente, arcsin ou sin-1 pour la fonction réciproque du sinuscirculaire, etc.) nous adopterons ici les 24 noms explicites et non ambigüs indiqués dans les tableaux ci-dessous.
3 remarques sur les noms des fonctions :
    - Le suffixe h désigne une fonction hyperbolique
    - Le préfixe arc désigne une fonction circulaire réciproque
    - Le préfixe arg désigne une fonction hyperbolique réciproque
 
Les 6 fonctions trigonométriques circulaires directes :Nom complet
Fonction
Ensemble de définition
sinus circulaire de x


cosinus circulaire de x


tangente circulaire de x


cotangente circulaire de x


sécante circulaire de x


cosécante circulaire de x


Explications concernant les ensembles de définition :
sin(x) et cos(x) existent quelque soit le réel x : leur ensemble de définition est donc l'ensemble des nombres réels Rtan(x) et sec(x) n'existent que si cos(x) n'est pas nul car tan(x)=sin(x)/cos(x) etsec(x)=1/cos(x)
cotan(x) et cosec(x) n'existent que si sin(x) n'est pas nul car cotan(x)=cos(x)/sin(x)et cosec(x)=1/sin(x)
Or :
cos(x)=0 si le réel x est de la forme pi/2+k.pi quelque soit l'entier relatif k
sin(x)=0 si le réel x est de la forme k.pi quelque soit l'entier relatif k
Donc :tan(x) et sec(x) existent seulement si le réel x n'est pas de la forme pi/2+k.pi
cotan(x) et cosec(x) existent seulement si le réel x n'est pas de la forme k.pi
 
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Les 6 fonctions trigonométriques circulaires réciproques :
Nom complet
Fonction
Ensemble de définition
arc sinus circulaire de x 
(fonction réciproque de sin(x))


arc cosinus circulaire de x 
(fonction réciproque...
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