PRIMITIVES
Exercices
1. Montrer que F est une primitive de f sur l’intervalle I. a. I = ]0; +∞[ , f ( x ) = x , F ( x ) = b. I = ℝ , f ( x ) = x − 2 x + 1 , F ( x )
2

2 x x +1 . 3

(

)

( x − 1) =
3

3

.

2. Démontrer, sans calculer les fonctions dérivées, que F et G sont deux primitives sur R de la même fonction.

F (x ) =

1 − x 12 . ; G (x ) = 1 + x 12 1 + x 12

3. Trouver la primitive F de f sur I telle que F ( x0 ) = y 0 . a. f ( x ) = 1 − x + x 2 − x 3 ; I = R, x0 = 1 , y 0 = 0 . b. f (x ) = cos 3 x ; I = R, x 0 = c. f ( x ) = x +

π
2

, y0 = 0 .

1 1 − ; I = ]0; +∞[ , x0 = 1 , y 0 = 1 . 2 x x

4. Applications du tableau de dérivées.
Déterminer une primitive de f sur un intervalle quelconque contenu dans son ensemble de définition (on ne cherchera pas à préciser cet intervalle).

f1 ( x ) = x3 + 4 x − 1 ; f 4 ( x ) = ( x − 9) ;
3

f 2 (x ) = x +

1 x

;

f 3 (x ) = 1 −
4

1 ; cos 2 x

1  f 5 ( x ) = 2 1 + x 
;

1  ; x

( f (x ) =
6

x +1 x

)

2

;
3

f 7 (x ) =

(x − 1)2

1

sin x f 8 (x ) = ; cos 2 x

 x  f 9 (x ) =  4  ;  x + 1 f12 ( x ) = tan x + x . cos 2 x

f10 ( x ) =

cos x ; 2 + sin x

f11 ( x ) = x cos x + sin x ;

T5S Primitives

1

03/2011

5. Transformation d’écriture a. Montrer qu’il existe trois réels a, b et c tels que : x 2 = a ( x − 1) + b ( x − 1) + c . En
2

déduire une primitive sur R de la fonction f définie par, f ( x ) = x 2 ( x − 1)

1998

.

b. Déterminer une primitive F de la fonction f définie sur ]1;+∞[ par f ( x ) =
(Indication : mettre f(x) sous la forme f ( x ) = a +

x2 − 2x

( x − 1)

2

.

b

( x − 1)

2

.)

c. Déterminer une primitive F de la fonction f définie sur ]− 2;+∞[ par

f (x ) =

3x 2 + 12 x − 1

( x + 2)2

.

(Indication : f ( x ) = a +

b

(...)

2

.)

3  d. Déterminer une primitive F de la fonction f définie sur  −∞; −  par 2  3 2 c 4 x + 10 x + 3 x −