LE PRODUIT SCALAIRE
1. Ensemble de points M
Cas général : si

forme

.

, l’ensemble des points M tels que

.

est un cercle ou

Ex.

A (0 ; 0) .

B (1 ; 0)

; 1

k=2

M (x ; y)

forme canonique :

or on veut ²

. ²

2

On a bien un cercle de Centre Ω

²

2 ; 0 et de Rayon

2. Ensemble de pts M

Cas général :

0 alors on a une droite médiatrice de 2

Ex. 3 points A, B et C On cherche , Ensemble des points M tels que : Premier cas : lorsque les coefficients sont égaux : 2 2 ,1 ; 3 ,2

On pose

Et

,1 ;

,1 ; 3

,1 3 3 3 3 é

d’où

1

Deuxièmes cas : lorsque les coefficients sont différents : 2 2

On pose

2

Et

2 5

2 5

,2 ; . .

,2 ;

, 1

,2 ;

5 0

,1

2

2

²

. 2

²

0

0

Donc

.

0

0

è

3. Ensemble de points M
Cas général : Ensemble des points M Droite médiatrice de [AB] pour Cercle de diamètre pour (P) tels que , , ; ;

0 ,

avec

,

Ex. . On pose

0

0

,1 ; , ,1 ; , Donc 1 1 . . 1 . 0 0

0

d’où

1

1

0 è

2

4. Recherche de l’Equation d’une droite passant par un point et orthogonale à un vecteur
Ex. Equation de la droite (Δ) passant par A (1 ; 2) et orthogonale à Soit ; ∆ . 0

1 2 ∆

donc d’où

.

3 3 3

1 1 3

1 1 5 5

3 1

2 2

0

Rappel : Vecteur normal ∆ : est normal à la droite

5. Recherche de l’Orthocentre
Ex. Recherche de l’orthocentre du triangle ABC 1;2 1; 1 2; 4 . . 0 0

On pose d’où

;

2

3 2

3

3

11 5 6 5

1 2

3 3 1 8

2 4

0 0 ;

Coordonnées de l’Orthocentre

6. Recherche du lieu de l’Orthocentre quand C décrit une parabole
Ex. : parabole 0 ;0 1;1 : point quelconque de (P) ;

Recherche de l’Orthocentre : application du Produit scalaire H : orthocentre ABC . . . . . 0 0 . 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1

.

1

1 1

1

1

1 1 1 1

0

0 donc 0 1 0 0

Mais ABC est un triangle, donc nécessairement on a D’où . 1 0 1 1 1 1

0

1

1