Chapitre 16 Arithmétique dans Z
La mathématique est la reine des sciences et la théorie des nombres la reine des mathématiques (Gauss).
A L’anneau (Z,+,×)
On admettra qu’on peut construire l’anneau (Z,+,×) à partir de N. L’anneau (Z,+,×) est intègre. Le groupe multiplicatif, Z× des inversibles de l’anneau Z est {−1,1}L’anneau (Z,+,×) est intègre.
1 Diviseurs et multiples
Définition 1 On dit que a∈Z divise b∈Z s’il existe c∈Z tel que ac=b. On dit alors aussi que b est un multiple de a. Et on écrit a|b.
On dit qu’un entier a∈Z est pair si 2|a. On dit qu’un entier est impair s’il n’est pas pair.
Proposition 2 La relation a|b sur l’ensemble Z est transitive et réflexive. De plus : (a|b ∧ b|a) ⇐⇒ (a=b ∨ a=−b). On a a|0, 1|a et −1|a pour tout a∈Z.
Remarque 3 Deux entiers égaux ou opposés sont dit associés. Deux entiers sont associées si et seulement s’ils sont égaux à un facteur inversible près (car les inversibles de Z sont 1 et −1). Deux entiers associés ont les même diviseurs et les même multiples. Dans les problème de divisibilité, on peut donc sans inconvénient raisonner à un facteur inversible près. Concrètement, on pourra toujours se ramener à des entiers positifs.
2 Division euclidienne
3 Sous-groupes de (Z,+)
Soit a∈Z. On note aZ:={an,n∈Z}={b∈Z, a|b} l’ensemble des multiples de a. C’est un ensemble infini, sauf si a=0. On a 0Z={0}, 1Z=Z. Pour tout a∈Z, aZ=(−a)Z.
Proposition 4 Soit a∈Z. Alors : * a divise 0. * Si a divise deux entiers, alors il divise aussi leur somme. * Si a divise un entier, alors il divise aussi l’opposé de cet entier.
De façon plus concise : l’ensemble aZ est un sous-groupe de (Z,+).
Remarque 5 Si a divise b, alors a divise tout multiple de b, c’est évident.
Rappelons le théorème fondamental suivant, démontré dans un chapitre antérieur :
Théorème 6 (classification des sous-groupes de (Z,+)) Soit H⊂ Z un sous-groupe de (Z,+). Alors il existe un unique a∈N tel que H=aZ.
Remarque 7