les nombre

Pages: 9 (2189 mots) Publié le: 27 novembre 2014
Chapitre 1
LES NOMBRES COMPLEXES
1.1

Introduction

Dans ce chapitre comme dans la suite du polycopi´e, nous utiliserons les symboles suivants :
1. Symboles ensemblistes
• ∈ : appartenance ; si E est un ensemble, x ∈ E se lit : “x appartient a` E”.
• ⊂ : inclusion ; si E et F sont deux ensembles, F ⊂ E se lit : ”F est inclus dans
E” ; il ne faut pas confondre ce symbole et lepr´ec´edent, le symbole d’inclusion sert
uniquement a` comparer des ensembles ; ainsi la propri´et´e x ∈ E s’´ecrit ´egalement
{x} ⊂ E, o`
u {x} d´esigne le sous-ensemble de E ne contenant que l’´el´ement x.
• ∅ : ensemble vide.
• ∩ : intersection.
• ∪ : r´eunion.
2. Connecteurs binaires
• =⇒ : implication ; si P et Q sont deux assertions, P =⇒ Q est une nouvelle assertion,
qui se lit :”P impliqueQ”.
• ⇐⇒ : ´equivalence ; si P et Q sont deux assertions, P ⇐⇒ Q est une nouvelle
assertion, qui se lit :”P ´equivalente a` Q”. La distinction entre cette notion et celle
cit´ee ci-dessus ´etant une des bases du raisonnement math´ematique, il faudra ˆetre
extrˆemement attentif a` l’emploi de l’un ou l’autre symbole.
3. Quantificateurs
• ∀ : pour tout ; ∀x ∈ E . . . se lit :“Pour tout xappartenant a` E. . . ”.
• ∃ : il existe ; ∃x ∈ E . . . se lit :“Il existe x appartenant a` E. . . ”.
Nous nous bornerons ici a` employer les symboles ci-dessus comme de simples notations. Pour
leur utilisation plus pouss´ee, et pour les techniques de d´emonstration associ´ees, nous renvoyons
le lecteur au module UE3-MIAS-MASS. Il faut cependant se rappeler qu’il ne s’agit en aucun cas
d’abr´eviations; ces symboles ne doivent jamais apparaˆıtre dans une phrase en langage courant.
Pour caract´eriser les ´el´ements d’un ensemble, on utilisera aussi la notation (non canonique !) :
| qui se lit ”tel que” : par exemple, {x ∈ R | x ≥ 0} est R+ .

1

1.2

Rappels

L’ensemble C des nombres complexes est l’ensemble qui :
• Contient tous les nombres r´eels
• Est muni d’une addition et d’unemultiplication v´erifiant les mˆemes propri´et´es que les
op´erations correspondantes de R
• Contient un nombre i tel que i2 = −1
• Est constitu´e de tous les nombres z = a + ib, avec a et b dans R.
Remarque : Il est impossible de comparer deux nombres complexes : si z et z sont deux
complexes, l’expression ”z plus grand que z ” n’a pas de sens ; il est en particulier absurde de
parler decomplexes positifs.

1.2.1

Vocabulaire

Soit z un complexe. L’´ecriture z = a + ib, (a, b) ∈ R2 est dite forme alg´ebrique de z.
a est la partie r´eelle de z, not´ee Re(z). Si a = 0, on dit que z est imaginaire pur.
b est la partie imaginaire de z, not´ee Im(z). Si b = 0, z est un r´eel !
Deux nombres complexes sont ´egaux si et seulement si ils ont mˆeme partie r´eelle et mˆeme partieimaginaire.
Le conjugu´e de z est le complexe z¯ d´efini par z¯ = a − ib. On utilise fr´equemment les propri´et´es
z = z¯ ⇔ z ∈ R, et z = −¯
z ⇔ z ∈ iR (c’est `a dire z imaginaire pur).

1.2.2

Repr´
esentation g´
eom´
etrique

Soit z = a + ib, (a, b) ∈ R2 un nombre complexe. Dans le plan muni d’un rep`ere orthonorm´e
(O; u, v), on peut associer a` z le point M (a, b). On dit que M estl’image de z. R´eciproquement,
`a tout point M (a, b) du plan, on peut associer un unique complexe z, d´efini par z = a + ib, z
−−→
est appel´e affixe de M ; on dit aussi que z est l’affixe du vecteur OM .



b

M (z = a + ib)



v
O

u



a

2

1.3
1.3.1

Module et argument

efinition, propri´
et´
es

Soit un
z = a + ib, (a, b) ∈ R2 . Le module de z, not´e |z| estd´efini par
√ nombre complexe

|z| = a2 + b2 = z z¯.
Il v´erifie les propri´et´es :
• |z| = 0 ⇔ z = 0
• |zz | = |z||z |
1
1
.
• si z = 0, | | =
z
|z|
D’autre part, si z est r´eel, le module de z est sa valeur absolue.
Soit z un complexe non nul. On appelle argument de z, not´e arg(z), n’importe quelle mesure
−−→
en radians de l’angle (u, OM ), o`
u M est l’image de z dans le...
Lire le document complet

Veuillez vous inscrire pour avoir accès au document.

Vous pouvez également trouver ces documents utiles

  • Le nombre
  • Nombres
  • Les Nombres
  • Sur les nombres
  • Nombres
  • les nombre
  • Les nombres
  • Nombres

Devenez membre d'Etudier

Inscrivez-vous
c'est gratuit !