Chapitre 1
LES NOMBRES COMPLEXES
1.1

Introduction

Dans ce chapitre comme dans la suite du polycopi´e, nous utiliserons les symboles suivants :
1. Symboles ensemblistes
• ∈ : appartenance ; si E est un ensemble, x ∈ E se lit : “x appartient a` E”.
• ⊂ : inclusion ; si E et F sont deux ensembles, F ⊂ E se lit : ”F est inclus dans
E” ; il ne faut pas confondre ce symbole et le pr´ec´edent, le symbole d’inclusion sert uniquement a` comparer des ensembles ; ainsi la propri´et´e x ∈ E s’´ecrit ´egalement
{x} ⊂ E, o` u {x} d´esigne le sous-ensemble de E ne contenant que l’´el´ement x.
• ∅ : ensemble vide.
• ∩ : intersection.
• ∪ : r´eunion.
2. Connecteurs binaires
• =⇒ : implication ; si P et Q sont deux assertions, P =⇒ Q est une nouvelle assertion, qui se lit :”P implique Q”.
• ⇐⇒ : ´equivalence ; si P et Q sont deux assertions, P ⇐⇒ Q est une nouvelle assertion, qui se lit :”P ´equivalente a` Q”. La distinction entre cette notion et celle cit´ee ci-dessus ´etant une des bases du raisonnement math´ematique, il faudra ˆetre extrˆemement attentif a` l’emploi de l’un ou l’autre symbole.
3. Quantificateurs
• ∀ : pour tout ; ∀x ∈ E . . . se lit :“Pour tout x appartenant a` E. . . ”.
• ∃ : il existe ; ∃x ∈ E . . . se lit :“Il existe x appartenant a` E. . . ”.
Nous nous bornerons ici a` employer les symboles ci-dessus comme de simples notations. Pour leur utilisation plus pouss´ee, et pour les techniques de d´emonstration associ´ees, nous renvoyons le lecteur au module UE3-MIAS-MASS. Il faut cependant se rappeler qu’il ne s’agit en aucun cas d’abr´eviations ; ces symboles ne doivent jamais apparaˆıtre dans une phrase en langage courant.
Pour caract´eriser les ´el´ements d’un ensemble, on utilisera aussi la notation (non canonique !) :
| qui se lit ”tel que” : par exemple, {x ∈ R | x ≥ 0} est R+ .

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1.2

Rappels

L’ensemble C des nombres complexes est l’ensemble qui :
• Contient tous les nombres r´eels
• Est muni d’une addition et