1A 2010-2011

LES FONCTIONS : LIMITES ET CONTINUITÉ

Objectifs  Connaître et manipuler les notions de limites  Connaître la notion de continuité  Connaître les notions de limites et continuité à droite et à gauche
Dans tout ce chapitre, a ∈ R c'est à dire que a ∈ [−∞; +∞]. I désigne un intervalle de R contenant a, ainsi a peut-être une borne de I .

1 Dénition de la notion de limite
1.1 Limite nie en a
Dénition 1.
Soit f ∈ F (I, R) et l ∈ R 1. Cas où a ∈ R : on dit que f admet l pour limite en a si et seulement si :

∀ε > 0, ∃α > 0, ∀x ∈ I\{a}, |x − a|

α ⇒ |f (x) − l|

ε

Exemple 1.

On prend f :

R→R . Montrer que lim f (x) = 2 x → 2x3 x→1

2. Cas où a = +∞ : on dit que f admet l pour limite en +∞ si et seulement si :

∀ε > 0, ∃A ∈ R, ∀x ∈ I, x

A ⇒ |f (x) − l|

ε

1

JA-JMB-ML

1A 2010-2011

3. Cas où a = −∞ : on dit que f admet l pour limite en −∞ si et seulement si :

∀ε > 0, ∃A ∈ R, ∀x ∈ I, x

A ⇒ |f (x) − l|

ε

On note : lim f (x) = l ou f (x) → l x→a x→a

Intuitivement, l'assertion lim f (x) = l a la signication suivante : quelque soit ε > 0, pour que

f (x) soit à distance ε de l, il sut que x soit susamment voisin de a. Toutefois, il faut faire attention : cette formulation dissimule l'idée importante de la dénition à savoir que le voisinage en question dépend de ε.

x→a

Théorème 1. x→a Unicité de la limite Soient f : I → R une fonction et soit l et l′ deux réels. On suppose que lim f (x) = l et

lim f (x) = l′ . Alors l = l′ .

x→a

Remarque 1.

La limite en un réel a est unique mais elle n'est pas forcément égale à f (a).

2

JA-JMB-ML

1A 2010-2011

1.2 Limite innie en a
Dans ce paragraphe, a est une extrémité nie ou innie de l'intervalle I .

Dénition 2.

Soient f : I → R une fonction.

1. Cas où a ∈ R : on dit que f admet +∞ (respectivement −∞) pour limite en a si et seulement si :

∀B ∈ R, ∃α > 0, ∀x ∈ I\{a}, |x − a|

α ⇒ f (x)

B