Limite et ordre - Asymptotes

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CHAPITRE 5 : LIMITE ET ORDRE – ASYMPTOTES
La lettre grecque α désigne soit + ∞, soit − ∞ , soit a un réel fini (a ∈ R)
→ →

Le plan est muni d’un repère (O ; i ; j ) , et on note C f la courbe représentative de la fonction f dans ce repère

1. LIMITE et ORDRE

1.1. Théorème de comparaison f et g sont deux fonctions définies sur le même intervalle I

 Si ∀x ∈ I
 lim g ( x) = +∞
 x →α

f ( x) ≥ g ( x)

alors lim f ( x) = +∞ x →α

Exemple
Déterminer la limite en −∞ et en +∞ de la fonction f définie sur R par f ( x) = x + sin x
On part de ∀x ∈ R

∀x ∈ R

− 1 ≤ sin x ≤ 1 , soit encore en ajoutant x à chaque membre de l’inégalité

x − 1 ≤ x + sin x ≤ x + 1

• Etude en −∞
On utilise l’inégalité ∀x ∈ R

x + sin x ≤ x + 1 et puisque lim ( x + 1) = −∞ x →−∞

d’après le théorème de comparaison lim ( x + sin x) = −∞ x →−∞

• Etude en +∞
On utilise l’inégalité ∀x ∈ R

x − 1 ≤ x + sin x et puisque lim ( x + 1) = +∞ x →+∞

© Gérard Hirsch – Maths54

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toujours d’après le théorème de comparaison lim ( x + sin x) = +∞ x →+∞

1.2. Théorème des gendarmes
L désigne un réel g ( x) ≤ f ( x) ≤ h( x)
 Si ∀x ∈ I alors lim f ( x) = L
 lim g ( x) = L et lim h( x) = L x →α
 x →α x →α

Corollaire
 Si ∀x ∈ I

g ( x) = 0
 lim x →α

f ( x) − L ≤ g ( x)

alors lim f ( x) = L x →α

Exemple
Déterminer la limite en 0 de la fonction f définie sur

puisque ∀u ∈ R

] 0, + ∞[

− 1 ≤ sin u ≤ 1 , alors ∀x ∈ ] 0, + ∞[

par f ( x) = x sin

− 1 ≤ sin

1 x 1
≤1
x

En multipliant chaque membre de la double inégalité par x avec x ∈ ] 0 , + ∞[ , on obtient
∀x ∈ ] 0, + ∞[

− x ≤ x sin

1
≤ x et puisque lim+ (− x) = 0 et lim+ ( x) = 0 x →0 x →0 x 1 alors d’après le théorème des gendarmes lim+ ( x sin ) = 0 x →0 x 1.3. Conservation des inégalités larges par passage à la limite g ( x) ≤ f ( x)
 Si ∀x ∈ I
 lim g ( x) = L et lim f ( x) = L ' alors L ≤ L '
 x →α x →α

© Gérard Hirsch – Maths54

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