Mathematique

Pages: 7 (1617 mots) Publié le: 2 mars 2011
4ème Maths | Série d'exercices de mathématiquesDérivabilité | Lycée El Wafa l'ArianaMr Debbich |

Exercice 1 :
I) QCM : Une seule réponse est correcte.
1) L’approximation affine pour x proche de 0 de sinπ+x est :
a) - x b) sinx c) -cosx
2) L’approximation affine de 11+x lorsque x≈0 est :
a) 1b) 1-x c) 1+x
3) L’approximation affine de 1+x lorsque x≈0 est :
a) 1-12x b) 1+12x c) 1+2x
4) Pour tout n≥1, l’approximation affine de 1+xn lorsque x≈0 est :
a) 1+nx b)1+xn c) n+x
5) La parabole ci-contre est la courbe représentative d’une fonction polynôme du second degré f dans un repère orthogonal.

Parmi les trois représentations graphiques ci-dessous, une courbe ayant pour dérivée la fonction f. Laquelle ? (justifier la réponse)

II) Vrai ou Faux.
Les courbes ci-contre représentent une fonction fdérivable sur -2, 2 en trait continu et sa fonction dérivée f’ en pointillé.
a) f'0=12
b) La droite D:y=x+1 est tangente à la courbe de f au point d’abscisse 0.
c) Il existe un réel c∈-1, 1 tel que f'c=1.
Exercice 2 :
En utilisant la notion de dérivée, déterminer les limites suivantes :
a) limx→0x+4-2x b) limx→0sinxx c) limx→01-cosxxExercice 3:
Soient f et g les fonctions définies sur IR par : fx=x2cos1x f0=0 si x≠0
Etudier la dérivabilité de f en 0.
Exercice 4 :
Soit la fonction f définie sur IR\2 par : fx=3x-4x-2
1) Déterminer la fonction dérivée de f.
2) En déduire la fonction dérivée des fonctions :
gx=3x -4 x -2 définie sur 0, 4∪4, +∞
hx=3cosx -4 -2+cosx définie surIR.
Exercice 5 :
On a tracé ci-dessous, dans le plan muni d’un repère orthogonal, les courbes Cf et Cg représentatives de deux fonctions f et g définies et dérivables dans IR.
La droite D est tangente à la courbe Cf au point A-1;0 et passe par le point de coordonnées -2; 12.

Par lecture graphique :
a) Déterminer g’ (-1) et f’ (-1).
b) Une des deux fonctions est la dérivée de l’autre,déterminez laquelle en justifiant votre choix.
c) Déduire que le point B est un point d’inflexion à la courbe Cf.
Exercice 6 :
Vérifier que pour x∈0, π2; 1≤tanxx≤1+tan2x.
Exercice 7 :
Soit h la fonction définie par : h (1) = 0 et h'(x)=1x, x>0.
On pose fx=h x+1+x2 .
1) Montrer que f est définie, dérivable sur IR et calculer f'x.
2) Montrer que f est une fonction impaire.3) Montrer que pour tout x de IR+, fx≤x.
Exercice 8 :
Soit f une fonction dérivable sur IR vérifiant : f(0) = 0 et f'x=11+x2
A / 1/ Montrer que f est une fonction impaire.
2/ a- Prouver que f(1)≤1.
b- En étudiant les variations de la fonction K définie sur [1, + ∞[ par Kx=fx + 1 x
Montrer que f est majorée sur [1, + ∞[ puis déduire que f admet une limite l en + ∞.
B/Soit g la fonction définie par gx=fx+f1x
1/ a- Etudier les variations de g.
b- Déduire que l=2f1.
2 / On pose hx=tanx, pour x∈-π2, π2.
a- Montrer que l=limx→π2fohx.
b- Montrer que pour tout x∈-π2, π2 on a fohx=x.
c- Déduire la valeur de l puis la valeur de f1.
3/ Construire la courbe C de f dans un repère orthonormé.
C/ 1/ Montrer que l’équation fx=2x-1 admet unesolution unique α∈0, 2.
2/ Soit u la suite définie sur IN par :
u0=0 et ∀ n∈ IN, -1+un+1=f12 Un.
a- Montrer que ∀ n de IN un∈0,2.
b- Montrer que un+1-2α≤12un-2α.
c- Déduire que la suite u est convergente et déterminer sa limite.
Exercice 9 :
Soit fx=-1+x1-x2 ; x∈ -1, 1.
A/ 1/ a- Etudier les variations de f.
b- Montrer que l’équation fx=x admet dans -1,...
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