Maths exercice
2178 mots
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Fonctions convexes : corrigé Inégalités de convexitéExercice 1 - Exponentielle - L1/Math Sup Il suffit juste de remarquer que la fonction exponentielle est convexe, et d’appliquer la définition de la convexité !
Exercice 2 - Sinus - L1/Math Sup Puis (sin) = − sin, la fonction sinus est concave sur [0, π/2]. Sa courbe représentative est donc, sur cet intervalle, en-dessous de sa tangente en 0, et au-dessus de la corde joignant (0, sin 0) à (π/2, sin(π/2)). On obtient exactement le résultat demandé.
Exercice 3 - Logarithme - L1/Math Sup 1. On calcule la dérivée seconde de f qui vaut : f (x) = − 1 x2 ln(x) − 1 x2 ln2 (x) .
Cette fonction est négative sur ]1, +∞[. Donc la fonction est concave. 2. Par concavité de f , on a : ln ln a+b 2 ≥ √ 1 (ln ln a + ln ln b) = ln ln a ln b . 2
Passer à l’exponentielle donne le résultat.
Exercice 4 - Moyenne arithmétique et géométrique - L1/Math Sup Par concavité du logarithme : ln a1 + · · · + an n ≥ ln(a1 ) + · · · + ln(an ) . n
On applique l’exponentielle et les propriétés habituelles du logarithme pour trouver le résultat !
Exercice 5 - Intégrale - L1/Math Sup La corde passant par (a, f (a)) et (b, f (b)) a pour équation y= f (b) − f (a) (x − a) + f (a). b−a
Pour les points d’abscisse comprise entre a et b, la courbe représentative de f est au-dessus de cette corde, c’est-à-dire que f (t) ≤ f (b) − f (a) (t − a) + f (a) b−a
pour t ∈ [a, b]. On intègre cette inégalité entre a et b et on trouve b f (t)dt ≤ f (b) − f (a) a (b − a) f (a) + f (b) + f (a)(b − a) = (b − a) . 2 2
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Fonctions convexes : corrigé
Pour prouver l’autre inégalité, il suffit de remarquer que la courbe représentative de f est au-dessus de sa tangente au point d’abscisse (a + b)/2. Autrement dit, pour tout t ∈ R, on a f (t) ≥ f a+b 2 t− a+b 2 +f a+b . 2
Intégrer cette inégalité entre a et b donne exactement b f (t)dt ≥ (b − a)f a a+b . 2
Exercice 6 - Majoration de f grâce à f -