LES ANNUITÉS
I.

Calculer la valeur acquise par des annuités :

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• Exemple : On place chaque année pendant 5 ans, en début d’année, un capital de 5 000
Calculer la valeur acquise au moment du dernier versement, puis un an après le dernier versement (Capitalisation annuelle au taux de 6 %)
• Méthode : la valeur acquise au moment du dernier versement constant est donnée par la formule (1 + i ) n − 1
Vn = a avec : i a : versement périodique en début de période n : nombre de versements

i : taux périodique
Vn : valeur acquise au dernier versement

• Solution :

a = 5 000 ; i = 0,06 ; n = 5 ;

Valeur acquise au 5e versement :

V5 = 5 000 ×

1,065 − 1 = 28 185,46
0,06

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Valeur un an après :

28 185,46 × 1,06 = 29 876,27

Intérêts acquis alors :

29 876,27 − ( 5 × 5 000) = 4 876,27

• Remarque : il s’agit en fait d’une suite géométrique
Au début de la 5ème année, le premier versement vaut : 5 000 × 1,064
Le 2ème versement ne produit des intérêts que 3 ans et vaut donc : 5 000 × 1,063
Et ainsi de suite jusqu’au 5ème versement qui n’a encore rien rapporté.
On a donc :

V5 = 5 000 + ( 5 000 × 1,06) + ( 5 000 × 1,062 ) + ✄

+ ( 5 000 × 1,064 )

Il s’agit d’une suite géométrique de 1er terme u1 = 5 000 , de raison q = 1,06 avec n = 5.
D’où :

q5 − 1
1,065 − 1
V5 = u1
= 5 000 ×
= 28 185,46 ☎✂✆ q −1
0,06

II. Calculer la valeur actuelle d’annuités :
• Exemple : On verse chaque mois en début de mois une somme de 1 000 ✝ pendant 24 mois
(taux d’actualisation : 0,5 % par mois).
Calculer la valeur actualisée de cette suite de versements un mois avant le premier versement.
• Méthode : la valeur actuelle une période avant le premier versement constant est donnée par la formule
−n
1 − (1 + i )
V0 = a avec : i a : versement périodique n : nombre de versements

i : taux périodique
V0 : valeur actuelle une période avant le premier versement

• Solution :

a = 1 000 ; i = 0,005 ; n = 24 ;