Chapitre 4

Chapitre 4.
Fonctions logarithmes
Activités et applications

f’(x) =

1. Définitions de la fonction logarithme népérien 1– × x – ln (x)
1 – ln(x) f’(x) = x
=
. x2 x2

Application 2

Activité. On découvre la fonction

1
La fonction F définie sur ]0 ; + ∞[ par F(x) = ln(x) – est x une primitive de f sur ]0 ; + ∞[.
Les primitives de f sur ]0 ; + ∞[ sont les fonctions G
1
définies sur ]0 ; + ∞[ par G(x) = ln(x) –
+ k ; k réel x quelconque.

1. On vérifie que ln(5) ≈ 1,609.
2. a) On obtient le tableau suivant. x – 30

–5

– 2,7

– 0,6

u’(x)v(x) – u(x)v’(x)
1
avec u’(x) = et v’(x) = 1. v2(x) x

0

0,5

ln(x) ERROR ERROR ERROR ERROR ERROR – 0,693 x 1

5,6

15

39,2

2 012

ln(x)

0

1,723

2,708

3,669

7,607

2. Relation fonctionnelle et conséquences
Activité. À la découverte de la relation fonctionnelle 1. a) En utilisant la fenêtre :

b) Pour les nombres négatifs et pour zéro, la calculatrice affiche ERROR.
On peut supposer que l’ensemble de définition de la fonction ln est l’ensemble des nombres réels strictement positifs.
3. a) En utilisant la fenêtre :

on obtient l’écran suivant. on obtient l’écran suivant.

b) On obtient une seule courbe.
On peut écrire : pour tout x > 0, ln(4x) = ln(4) + ln(x).
c) 28 = 4 × 7 ; on peut écrire ln(28) = ln(4) + ln(7).
2. On peut penser que, puisque 28 = 2 × 14, ln(28) = ln(2) + ln(14).
On vérifie cette proposition à l’aide de la calculatrice.

b) On observe que la fonction ln est strictement croissante.
c) L’axe des ordonnées est asymptote à la courbe.
On conclut que lim ln(x) = – ∞. x→0 Application 1

d) À l’écran de la calculatrice, on trace la droite d’équa-

΂ ΃

Application 1 u avec u(x) = ln(x) et v(x) = x. v Application 2
a) • (0,9)n р 0,5 équivaut à x ln(0,9) р ln(0,5).

tion y = 1.
On observe que l’équation ln(x) = 1 a une solution x0.
Avec la fonction trace de la calculatrice, on obtient x0 ≈ 2,7.

f=

΂ ΃

1
1
ln
= – ln(3) ; ln
≈ – 1,10.
3
3 ln(9) = 2 ln(3) ; ln(9) ≈ 2,20. ln(27) = 3 ln(3) ; ln(27) ≈