SUITES DE MATRICES ET MARCHES ALEATOIRES

I. Suites de matrices colonnes 1) Exemples :

a) La suite définie pour tout entier naturel n par est une suite de matrices colonnes dont les coefficients sont les suites numériques et définies pour tout entier naturel n par et .

b) Soit deux suites numériques couplées et définies pour tout entier naturel n par : , et
On pose pour tout entier naturel n :
On pose encore : et .
On a alors et pour tout entier naturel n, la relation matricielle de récurrence : .

En effet :

c) Soit une suite numérique définie par une relation de récurrence d'ordre 2 :
, et .
On pose pour tout entier naturel n :
On pose encore : .
On a alors et pour tout entier naturel n, la relation matricielle de récurrence : .
En effet,

2) Terme général d'une suite de matrices

Propriété : Soit une suite de matrices colonnes de taille p telle que pour tout entier naturel n, on a où A est une matrice carrée de taille p.
Alors, pour tout entier naturel n, on a : .

Démonstration :
On démontre cette propriété par récurrence.
Initialisation : car
Hérédité : - Hypothèse de récurrence : Supposons qu'il existe un entier k tel que la propriété soit vraie : - Démontrons que : La propriété est vraie au rang k + 1 :

Conclusion :
La propriété est vraie pour n = 0 et héréditaire à partir de ce rang. D'après le principe de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel n, soit : .

Méthode : Calculer des termes d'une suite à l'aide de matrices

Soit deux suites numériques couplées et définies pour tout entier naturel n par : , et
Calculer et .

On pose pour tout entier naturel n :
On pose encore : .
On a alors et pour tout entier naturel n, la relation matricielle de récurrence : .

On alors et donc en particulier .
Soit en s'aidant de la calculatrice :

On en déduit que et .

II. Convergence de suites de matrices colonnes

Définitions : On dit