MATHS

Pages: 7 (1521 mots) Publié le: 7 janvier 2014
SUITES DE MATRICES ET MARCHES ALEATOIRES



I. Suites de matrices colonnes

1) Exemples :

a) La suite définie pour tout entier naturel n par est une suite de matrices colonnes dont les coefficients sont les suites numériques et définies pour tout entier naturel n par et .


b) Soit deux suites numériques couplées et définies pour tout entier naturel n par : , et
On posepour tout entier naturel n :
On pose encore : et .
On a alors et pour tout entier naturel n, la relation matricielle de récurrence : .

En effet :



c) Soit une suite numérique définie par une relation de récurrence d'ordre 2 :
, et .
On pose pour tout entier naturel n :
On pose encore : .
On a alors et pour tout entier naturel n, la relation matricielle de
récurrence : .
Eneffet,


2) Terme général d'une suite de matrices

Propriété : Soit une suite de matrices colonnes de taille p telle que pour tout entier naturel n, on a où A est une matrice carrée de taille p.
Alors, pour tout entier naturel n, on a : .

Démonstration :
On démontre cette propriété par récurrence.
Initialisation : car
Hérédité :
- Hypothèse de récurrence :
Supposons qu'ilexiste un entier k tel que la propriété soit vraie :
- Démontrons que : La propriété est vraie au rang k + 1 :

Conclusion :
La propriété est vraie pour n = 0 et héréditaire à partir de ce rang. D'après le principe de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel n, soit : .


Méthode : Calculer des termes d'une suite à l'aide de matrices

Soit deux suites numériques couplées etdéfinies pour tout entier naturel n par : , et
Calculer et .


On pose pour tout entier naturel n :
On pose encore : .
On a alors et pour tout entier naturel n, la relation matricielle de
récurrence : .

On alors et donc en particulier .
Soit en s'aidant de la calculatrice :

On en déduit que et .



II. Convergence de suites de matrices colonnes


Définitions : On ditqu'une suite de matrices colonnes de taille p est convergente si les p suites dont les termes sont les p coefficients de sont convergentes.
La limite de cette suite est la matrice colonne dont les coefficients sont les p limites obtenues.
Dans tous les autres cas, on dit que la suite est divergente.

Exemples :
a) La suite définie pour tout entier naturel n par est divergente car et .b) La suite définie pour tout entier naturel n non nul par est convergente et sa limite est la matrice colonne .


Propriété : est une suite de matrices colonnes de taille p définie par la relation matricielle de récurrence où A est une matrice carrée de taille p et B est une matrice colonne à p lignes.
Si la suite est convergente alors sa limite U est une matrice colonne vérifiantl'égalité .


Démonstration :
et .
Par unicité des limites, on a .





Méthode : Recherche d'une suite constante vérifiant une relation de récurrence

Soit une suite de matrices colonnes définies pour tout entier naturel n par avec et .
Rechercher, si elle existe, la suite constante.



Résolvons l'équation matricielle .
Soit soit encore
Et donc .


A l'aide lacalculatrice, on obtient : .
Et donc : .
La suite constante cherchée est donc .



III. Graphes et marches aléatoires

1) Graphe

Dans une équipe de football, on étudie les passes que se font trois attaquants A, B et C.
Les probabilités qu'un attaquant passe le ballon à un autre sont représentées sur le schéma suivant.
Par exemple, la probabilité que l'attaquant A passe le ballon à l'attaquant Best égale à .
Un tel schéma est appelé un graphe. A, B et C sont appelés les sommets du graphe.


2) Marche aléatoire

On considère la variable aléatoire Xn prenant les valeurs A, B ou C à l'étape n.
A, B ou C s'appelle les états de Xn.
Par exemple, X3 = B signifie que l'attaquant B possède le ballon après la 3e passe.
La suite de variables aléatoires est appelée marche aléatoire...
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