Jeudi 19 mars 2009.

DS de Mathématiques. TS1 et TS2. 4 heures. Calculatrice autorisée.
EXERCICE 1. Amérique du nord, juin 2008. 6 points. Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]1 ; +∞[ par : f(x) = lnx − 1 . lnx → → On nomme Cf la courbe représentative de f et Γ la courbe d’équation y = lnx dans un repère orthogonal (O ; i , j ).

1. Etudier les variations de f et préciser les limites en 1 et en +∞. 2. a. Déterminer x→+∞ [f(x) – lnx]. Interpréter graphiquement cette limite. lim 2. b. Préciser les positions relatives de Cf et Γ. 3. On se propose de chercher les tangentes à la courbe Cf passant par le point O. a. Soit a un réel de ]1 ; +∞[. Démontrer que la tangente Ta à Cf au point d’abscisse a passe par l’origine du repère si, et seulement si, f(a) – a f’(a) = 0. Soit g la fonction définie sur l’intervalle ]1 ; +∞[ par g(x) = f(x) – x f’(x). b. Montrer que sur ]1 ; +∞[, les équations g(x) = 0 et (lnx)3 – (lnx)² − lnx – 1 = 0 ont les mêmes solutions. c. Après avoir étudié les variations de la fonction u définie sur IR par u(t) = t3 – t² − t – 1, montrer que la fonction u s’annule une fois et une seule sur IR. pour un réel α dont on donnera une valeur approchée à 10−2 près par excès. d. En déduire l’existence d’une tangente unique à la courbe Cf passant par le point O. La courbe Cf et la courbe Γ sont données sur l’annexe jointe. Tracer cette tangente le plus précisément possible sur cette figure. 4. On considère un réel m et l’équation f(x) = mx d’inconnue x. Par lecture graphique et sans justification, donner, suivant les valeurs du réel m, le nombre de solutions de cette équation appartenant à l’intervalle ]1 ; 10]. EXERCICE 2. Polynésie, juin 2008. 5 points [non spé Math] Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une justification de la réponse choisie. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise