Correction de l’exercice 1 du Bac S – Am. du Sud – Nov. 2007

Exercice 1 (4 points) Commun à tous les candidats
1) Dans cette question, on demande au candidat d’exposer des connaissances.
On suppose connu le résultat suivant :
La fonction xe x est l’unique fonction dérivable sur R telle que ’= et (0) = 1
Soit a un réel donné. Montrer que la fonction f définie sur R par f(x) = e a x est solution de l’équation y’ = a y.
Pour tout x réel ; f ’(x) = a e a x = a f(x) donc f est solution de l’équation différentielle y’ = a y. Soit g une solution de l’équation y’ = a y. Soit h la fonction définie sur R par h(x) = g(x) e – a x. Montrer que h est une fonction constante.
La fonction h définie sur R par h(x) = g(x) e – ax est dérivable sur R car c’est le produit de deux fonctions dérivables sur R : xg(x) et xe – ax.
Pour tout réel x, on a : h’(x) = g’(x) e – ax + g(x)( e – ax)’
D’où h’(x) = g’(x) e – ax + g(x)(– a e – ax) = ag(x) e – ax + g(x)(– a e – ax) car g est solution de l’équation y’ = a y. = 0
Donc h est une fonction constante. En déduire l’ensemble des solutions de l’équation y’ = ay.
D’après la question précédente, si une fonction g est solution de l’équation différentielle y’ = a y alors, pour tout réel x, g(x) e – ax = C ou bien g(x) = Ce ax.
Réciproquement, la fonction g définie sur R par g(x) = Ce ax est bien solution de l’équation différentielle y’ = ay car g’(x) = Ca e a x = a g(x).
Donc les solutions de l’équation différentielle y’ = ay sont les fonctions : xC ea x où C est une constante.
2) On considère l’équation différentielle (E) : y’ = 2y + cos x. a) Déterminer deux nombres réels a et b tels que la fonction f 0 définie sur R par : f 0 (x) = a cos x + b sin x soit une solution f 0 de (E).
Les fonctions trigonométriques cosinus et sinus sont dérivables sur R d’où f0 est dérivable sur R.
Pour tout x réel, on a : f0’(x) = – a sin x + b cos x.
La condition : f0 est solution de l’équation différentielle (E) est