Chapitre 6

Optimisation sous contraintes
6.1

Fonction de deux variables avec une unique contrainte

Soit U un ouvert non vide de R2 . On cherche à optimiser f : U → R sous la contrainte h(x) = 0 où h : R2 → R est une fonction de classe C 1 .
Théorème 6.1.1 (des fonctions implicites, admis). Soient U un ouvert non vide de R2 , une fonction f : U → R de classe C 1 et (x0 , y0 ) ∈ U tel que : f (x0 , y0 ) = 0

et

∂f
(x0 , y0 ) = 0.
∂y

Alors il existe δ, ε > 0 et une fonction g :]x0 − δ, x0 + δ[→]y0 − ε, y0 + ε[ tels que :
]x0 − δ, x0 + δ[×]y0 − ε, y0 + ε[⊂ U,

g(x0 ) = y0

et

∀x ∈]x0 − δ, x0 + δ[, f x, g(x) = 0.

On forme alors le lagrangien L : U × R → R du problème :
∀(x, µ) ∈ U × R, L(x, µ) = f (x) − µh(x).
Il s’agit donc d’une fonction de trois variables réelles : x1 , x2 , µ.
Théorème 6.1.2 (Condition nécessaire du premier ordre). On suppose f de classe C 1 . Soit un point x = (x1 , x2 ) ∈ U solution du problème qui n’est pas un point critique de h. Alors il existe un réel µ tel que (x1 , x2 , µ) soit un point critique de L i.e. tel que :
∂L
(x1 , x2 , µ) = 0,
∂x1

∂L
(x1 , x2 , µ) = 0
∂x2

et

∂L
(x1 , x2 , µ) = 0.
∂µ

On dit que µ est le multiplicateur de Lagrange.
Preuve. Comme x n’est pas un point critique de h, on a grad h(x) = 0 et l’on peut supposer :
∂h
(x) = 0.
∂x2
On remarque déjà qu’il existe µ ∈ R tel que :
∂f
∂h
(x) − µ
(x) = 0 en posant
∂x2
∂x2

µ=

∂f
∂h
(x)
(x)
∂x2
∂x2

−1

.

De plus, on peut donc appliquer le théorème 6.1.1 des fonctions implicites à h au point x, ce qui assure l’existence d’un réel δ > 0 et d’une fonction g :]x1 − δ, x1 + δ[→ R de classe C 1 telle que : g(x1 ) = x2

et

∀x1 ∈]x1 − δ, x1 + δ[, h x1 , g(x1 ) = 0.
75

En dérivant la fonction d’une variable x1 → h x1 , g(x1 ) en x, on obtient :
0=

∂h
∂h
∂h
∂h
x1 , g(x1 ) + g (x1 ) x1 , g(x1 ) =
(x) + g (x1 )
(x),
∂x1
∂x2
∂x1
∂x2
∂h
∂h
d’où g (x1 )
(x) = −
(x).
∂x2
∂x1