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Exercices - Matrices : ´nonc´ e e Autour du produitExercice 1 - Produits possibles - L1/Math Sup On consid`re les matrices suivantes : A = e
1 2 3 −2 5 5 0
, −1 1 3 , E = −1 −4 0 . 0 2 5
B=
1 −2
2 1 , C = −3 0 , D = 1 2
Quels sont les produits matriciels possibles ? Quelles sont les matrices carr´es et les matrices e sym´triques ? e
Exercice 2 - Des calculs de produits - L1/Math Sup Calculer lorsqu’ils sont d´finis les produits AB et BA dans chacun des cas suivants : e 1. A =
1 0 0 0
,
B=
0 0 0 1 B= 2 0 1 −1 1 2
0 2 1 1 0 , 2. A = 1 −1 −2 −1 1 2 3. A = 1 1 , 0 3
B=
−1 1 0 1 2 1 0 0
Exercice 3 - Commutant - L1/Math Sup a b . Trouver toutes les matrices B ∈ M2 (R) 0 a qui commutent avec A, c’est-`-dire telles que AB = BA. a Soient a et b des r´els non nuls, et A = e 1 1 1 1 0 0 On consid`re les matrices A = 0 1 1 , B = 0 1 0 et C = e 3 1 1 1 0 0 Calculer AB, AC. Que constate-t-on ? La matrice A peut-elle ˆtre inversible ? e les matrices F ∈ M3 (R) telles que AF = 0 (o` 0 d´signe la matrice nulle) u e
Exercice 4 - Annulateur - L1/Math Sup -
1 1 1 1 2 1 . 0 −1 −1 Trouver toutes
Exercice 5 - Produit non commutatif - L1/Math Sup D´terminer deux ´l´ments A et B de M2 (R) tels que : AB = 0 et BA = 0. e ee
Exercice 6 - Puissance n-i`me - avec la formule du binˆme - L1/Math Sup e o
Soit 1 1 0 A = 0 1 1 , 0 0 1
1 0 0 I = 0 1 0 et B = A − I. 0 0 1
Calculer B n pour tout n ∈ N. En d´duire An . e
Exercice 7 - Puissance n-i`me - avec un polynˆme annulateur - L1/Math Sup e o
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Exercices - Matrices : ´nonc´ e e
1. Pour n ≥ 2, d´terminer le reste de la division euclidienne de X n par X 2 − 3X + 2. e 0 1 −1 e e e 2. Soit A = −1 2 −1. D´duire de la question pr´c´dente la valeur de An , pour n ≥ 2. 1 −1 2
Rang
Exercice 8 - Explicite... - L1/Math