Exercices - Matrices : ´nonc´ e e Autour du produit
Exercice 1 - Produits possibles - L1/Math Sup On consid`re les matrices suivantes : A = e
 

1 2 3 −2 5 5 0

, −1 1 3   , E =  −1 −4 0  . 0 2 5
 

B=

1 −2

2 1   , C =  −3 0  , D = 1 2

Quels sont les produits matriciels possibles ? Quelles sont les matrices carr´es et les matrices e sym´triques ? e

Exercice 2 - Des calculs de produits - L1/Math Sup Calculer lorsqu’ils sont d´finis les produits AB et BA dans chacun des cas suivants : e 1. A =


1 0 0 0

,

B=


0 0 0 1 B= 2 0 1 −1 1 2

0 2 1   1 0 , 2. A =  1 −1 −2 −1 1 2   3. A =  1 1  , 0 3
 

B=

−1 1 0 1 2 1 0 0

Exercice 3 - Commutant - L1/Math Sup a b . Trouver toutes les matrices B ∈ M2 (R) 0 a qui commutent avec A, c’est-`-dire telles que AB = BA. a Soient a et b des r´els non nuls, et A = e 1 1 1 1 0 0      On consid`re les matrices A =  0 1 1 , B =  0 1 0  et C =  e 3 1 1 1 0 0 Calculer AB, AC. Que constate-t-on ? La matrice A peut-elle ˆtre inversible ? e les matrices F ∈ M3 (R) telles que AF = 0 (o` 0 d´signe la matrice nulle) u e

Exercice 4 - Annulateur - L1/Math Sup - 







1 1 1  1 2 1 . 0 −1 −1 Trouver toutes



Exercice 5 - Produit non commutatif - L1/Math Sup D´terminer deux ´l´ments A et B de M2 (R) tels que : AB = 0 et BA = 0. e ee

Exercice 6 - Puissance n-i`me - avec la formule du binˆme - L1/Math Sup e o
Soit 1 1 0   A =  0 1 1 , 0 0 1
 

1 0 0   I =  0 1 0  et B = A − I. 0 0 1





Calculer B n pour tout n ∈ N. En d´duire An . e

Exercice 7 - Puissance n-i`me - avec un polynˆme annulateur - L1/Math Sup e o

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Exercices - Matrices : ´nonc´ e e
1. Pour n ≥ 2, d´terminer le reste de la division euclidienne de X n par X 2 − 3X + 2. e 0 1 −1   e e e 2. Soit A = −1 2 −1. D´duire de la question pr´c´dente la valeur de An , pour n ≥ 2. 1 −1 2
 

Rang
Exercice 8 - Explicite... - L1/Math