matrices 2
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Exercices - Matrices : corrigéAutour du produit
Exercice 1 - Produits possibles - L1/Math Sup On peut effectuer les produits AC, AE, BA, CB, CD, DB, DD, EC, EE. Seules les matrices
D et E sont carrées, et seule la matrice D est symétrique.
Exercice 2 - Des calculs de produits - L1/Math Sup 1. Puisque A et B sont deux matrices carrées de même ordre, les deux produits AB et BA sont possibles. On trouve :
AB =
0 0
0 0
,
0 0
0 0
BA =
.
En particulier, AB = BA = 0 alors que ni A ni B ne sont nuls.
2. Le produit AB n’est pas défini car A a trois colonnes et B deux lignes. Pour BA, on trouve −1 2
1
BA =
.
−1 −5 −3
3. Le produit BA n’est pas défini. En revanche, on a
3 3 0 1
AB = 1 2 0 1 .
6 3 0 0
Exercice 3 - Commutant - L1/Math Sup Soit B =
c d e f
une telle matrice. On a :
AB =
ac + be ad + bf ae af
ac bc + da ae be + af
, BA =
.
Puisque AB = BA, on obtient le système :
ac + be = ac
ad + bf af = bc + da
= be + af
On résoud ce système pour trouver que e = 0 et c = f . Toutes les matrices B qui conviennent sont celles de la forme : c d
.
0 c
Exercice 4 - Annulateur - L1/Math Sup On trouve :
1 1 1
AB = AC = 1 1 0 .
4 4 3 http://www.bibmath.net 1
Exercices - Matrices : corrigé
La matrice A n’est pas inversible : si tel était le cas, on multiplierait à gauche par A−1 dans l’égalité AB = AC, et on trouverait B = C. Ce n’est pas le cas ! Pour la seconde partie, on considère F une matrice vérifiant les propriétés précitées :
a b c
F = d e f . g h i
Le calcul de AF donne :
a b c
d+g e+h f +i
AF =
.
3a + d + g 3b + e + h 3c + f + i
Puisque AF = 0, on a le système suivant :
a=b=c=0
d = −g
⇐⇒
e = −h
a=b=c=0
d+g =e+h=f +i=0
3a + d + g = 3b + e + h = 3c + f + i = 0
f = −i
Les matrices F recherchées sont donc les matrices de la forme :
0
0
0
e f .
F = d
−d −e −f
Exercice 5 - Produit non commutatif - L1/Math Sup Les matrices
A=
0 1
,
0 0
B=
1 0
0 0