rapport de stage

Pages: 16 (3762 mots) Publié le: 8 janvier 2014

UCAM-FSJES novembre 2013

Algèbre linéaire
Exercices



Pr. Essardi


Exercice 1 :
Soient E1 = {( x1 , 0 ) ; x1 ∈ℝ } et E 2 = {( 0 , x2 ) ; x2∈ℝ } .
Montrer qu’ils constituent des espaces vectoriels.

Solution 1 :
Rappelons d'abord que E1 et E 2 sont dessous-ensembles de ℝ


et que les lois de composition
interne et externe ne sont que les lois habituelles + et × . Nous savons déjà que ( ℝ2 ,+, × ) est un
espace vectoriel. Nous n'avons donc pas besoin de vérifier toutes les propriétés (8 propriétés) d'un
E.V., mais seulement la stabilité des 2 sous-ensembles pour les deux lois.
1. On vérifie premièrement que E1 et E 2 nesont pas vides. En effet puisque x 1 , x2 ∈ℝ
alors (0 , 0) ∈ E1 et (0 , 0 ) ∈ E2 et alors E1 ≠∅ et E 2≠∅ .
2. On peut vérifier la stabilité de l'addition séparément de celle de la multiplication ou les
vérifier ensemble comme suivant :
Si on forme une combinaison linéaire de deux éléments (ou plus) x et y quelconques de
E1 , soit α x +β y avec α , β∈ℝ , appartient-elle encore àE1 ?
x ∈ E1 ⇒ x =( x1 , 0) et y ∈ E1 ⇒ x=( y1 , 0 )
α x +β y= α ( x1 , 0 )+β ( y1 ,0 )=( α x1+β y1 , 0 ) et puisque α ,β , x1 , y1 ∈ ℝ alors
α x1 +β y 1 ∈ℝ et par conséquent ( α x1 +β y1 , 0) ∈ E1 . L'addition est alors stable dans E1 .
On peut suivre le même raisonnement pour E 2 .
Les deux sous-ensembles E1 et E 2 sont fermes pour les opérations + et × etdonc ils sont des sous-espaces vectoriels de ℝ2 .

Exercice 2 :
Déterminer si les sous-ensembles suivants sont des sous-espaces vectoriels de ℝ2 :
2
F1 = {( x , y )∈ℝ
F 2 = {( x , y )∈ℝ
; 2 x − 4 y=0 }
2 ; 2 x − 4 y + 5=0 }
2 2
F3 = {( x , y )∈ℝ
; x − y=0 }
Donner une représentation géométrique de ces ensembles.

Solution 2 :
Comme dans l'exercice 1, les ensembles F1, F2 , F3 ⊂ ℝ
et les lois étudiées sont encore + et ×
habituelles ; alors on vérifie encore une fois la fermeture de ces ensembles pour ces lois.
{( x , y)=(1 , 2 )∈ F1 ⇒ F1≠∅
1
( x , y) ∈ F1 ⇒ y= 2 x
( x , y)=(1 , 7 ∈ F
⇒ F ≠∅
Car
{( x , y) ∈ F
⇒ y= 1 x + 5
4 ) 2 2
2 2 4
x , y 2
( x ,y)=( 1, 1 ) ∈ F 3 ⇒ F3≠∅
( ) ∈ F3
⇒ y= x

1. Pour F1 :
Soient α ,β ∈ℝ et x =( x1 , x 2) , y=( y1 , y2 ) ∈ F1 a-t-on α x +β y ∈F1 ?
α x +β y= α ( x1 , x 2 )+β ( y1 , y2 )=( α x1 +β y1 , α x2 +β y2 )
1
x1 +β y 1 ,
z1
x2 +β y 2
z2
∈ F1 si et seulement si z2 = 2 z1 .
1 1
Puisque x , y ∈ F1 alors x2= 2 x1 et y2= 2 y1 et
11 1 1
α x2 +β y2 =α ( 2 x1)+β( 2 y1)= 2 ( α x1+β y1 ) z2 = 2 z1
et donc (
x 1 +β y1 ,
z1
x2 +β y2
z2
2
∈ F1 . L'addition et la multiplication sont stables dans F1 .
F1 est donc un S.E.V., de ℝ .
2. pour F 2 : suivez le même raisonnement
Soient α ,β ∈ℝ et x =( x1 , x 2) , y=( y1 , y2 ) ∈ F2 a-t-on αx +β y ∈F2 ?
α x +β y= α ( x1 , x 2 )+β ( y1 , y2 )=( α x1 +β y1 , α x2 +β y2 )
1 5
x1 +β y 1 ,
z1
x2 +β y 2
z2
∈ F1 si et seulement si z2 = 2 z1 + 4 .
1 5 1 5
Puisque x , y ∈ F1 alors x2= 2 x1 + 4 et y2= 2 y1+ 4 et
1 5 1 5 1
5 1 5
α x2 +β y 2 =α ( 2 x1 + 4 )+β( 2 y1 + 4 )= 2 ( α x1+β y1)+ 4 ( α +β ) = 2 z1 + 4 ( α +β )
1 5
z2 ≠ 2 z1 + 4 pour les valeurs de α et β telles que α +β=1 .
et donc (
x1 +β y 1 ,
z1
x2 +β y2
z2
∉ F2 . L'addition et la multiplication ne sont pas stables dans
2
F 2 . F 2 n'est donc pas un S.E.V., de ℝ .
3. pour F3 : suivez le même raisonnement
Soient α ,β ∈ℝ et x =( x1 , x 2) , y=( y1 , y2 ) ∈ F3 a-t-on α x +β y ∈F3...
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