DP - SOUS-ESPACE ENGENDRE PAR UNE FAMILLE DE MATRICES
Dans l’espace vectoriel Mn (R) des matrices carrées à coefficients réels, on considère différents sousensembles An de matrices et les sous-espaces V (An ) qu’ils engendrent. La base canonique (Eij )1≤i,j≤n de Mn (R) étant constituée de matrices non inversibles, il est évident que, pour n ≥ 2, le sous-espace engendré par les matrices non inversibles est Mn (R). On rappelle la règle d’opération sur les matrices de la base canonique : Eij Ekℓ = δjk Eiℓ .

Proposition 1 Si An est l’ensemble des matrices nilpotentes, (ou même l’ensemble des matrices telles que A2 = 0), alors V (An ) est l’hyperplan {A | tr(A) = 0}.

Tout d’abord, puisque toute matrice nilpotente est de trace nulle, on a l’inclusion V (An ) ⊂ {A | tr(A) = 0} . Comme le sous-espace {A | tr(A) = 0} est le noyau d’une forme linéaire, c’est un hyperplan de Mn (R) et il est de dimension n2 − 1. Il reste à trouver un système libre de n2 − 1 matrices nilpotentes pour avoir l’égalité.
2 Les n2 − n matrices Eij , pour 1 ≤ i = j ≤ n, vérifient Eij = 0 et sont nilpotentes.

Les n − 1 matrices Aj = E11 − Ejj − E1j + Ej1 obtenues pour 2 ≤ j ≤ n, vérifient aussi A2 = 0. j Il est alors facile de s’assurer que le système de n2 − 1 matrices obtenu en réunissant ces deux familles de matrices est libre, d’où le résultat.

Proposition 2

Si An est l’ensemble des matrices de projecteurs, alors V (An ) = Mn (R) .

Les n2 − n matrices Eii + Eij , pour 1 ≤ i = j ≤ n, vérifient l’équation A2 = A, et sont des matrices de projecteur. Les n matrices Eii , pour 1 ≤ i ≤ n, vérifient aussi l’équation A2 = A.

DP 2

Il est alors facile de s’assurer que le système de n2 matrices obtenu en réunissant ces deux familles de matrices est libre, d’où le résultat. Intéressons-nous maintenant aux matrices inversibles.

Proposition 3

Si An est l’ensemble des matrices inversibles, alors V (An ) = Mn (R) .

Les matrices suivantes sont inversibles et forment un système libre