MPSI - Exercices - M´ecanique I - Probl`emes a` un degr´e de libert´e

Probl` emes ` a un degr´ e de libert´ e page 1/3
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le coefficient de glissement dynamique est d´efini par f =

sont les r´eactions normale et tangentielle au support.
´
Exercice 1. Energie potentielle. On consid`ere un champ de forces F de composantes Fx = 2xz, Fy = yz et
Fz = Fz (x, y).
1. D´eterminer Fz pour que F d´erive d’une ´energie potentielle Ep que l’on calculera, sachant que la force est nulle en O. On prendra le plan Oxy comme origine des ´energies potentielles.
2. Calculer alors, le long de l’h´elice d’´equations param´etriques x = R cos θ, y = R sin θ et z = hθ la circulation de F de M1 (θ = 0) a` M2 (θ = π).
3. Obtiendrait-on un r´esultat diff´erent en calculant la circulation le long d’une autre courbe ?
Exercice 2. Mol´ ecule diatomique.
L’´energie potentielle correspondant a` la force qui s’exerce entre les deux atomes a b d’une mol´ecule diatomique est correctement donn´ee par U (x) = − 6 + 12 o` ux x x d´esigne la distance intermol´eculaire et a et b sont des constantes positives.
1. Donner l’expression de la force f (x) qui s’exerce entre les deux atomes.
2. Les masses des deux atomes sont m et M (M > m). En supposant que l’atome de masse M reste au repos en un point O, tandis que l’autre peut se d´eplacer sur la droite x′ Ox, trouver les diff´erents mouvements possibles a` l’aide du graphe de la fonction U (x). Quelle est la distance d’´equilibre x0 entre les deux noyaux ?
3. Montrer que f (x) peut se mettre sous la forme f (x0 +ǫ) = −kǫ pour ǫ ≪ x0 . En d´eduire la p´eriode des petites oscillations de m autour de la position d’´equilibre en fonction de m, a et b.
Exercice 3. .
Une bille de masse m est susceptible de glisser :
1. soit sans frottement a` l’int´erieur d’une portion de jante circulaire, quart de cercle de centre C de rayon R.
2. soit en pr´esence de frottement de coefficient de glissement dynamique ∗ f
constant,