Moindres carrés
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1. Justification de la m´ethode des moindres carr´esTh´eor`eme 1.1. Lorsque les erreurs de mesure suivent une loi normale, pour qu’un ensemble de valeurs observ´ees (y1, y2, . . . , yn) d’une fonction
`a d´eterminer y = '(x) soit le plus probable, il faut choisir cette fonction de telle sorte que la somme des carr´es des ´ecarts des valeurs observ´ees par rapport `a '(x) soit minimale, autrement dit que sa diff´erentielle soit nulle : d Xn i=1 [yi − '(xi)]2 = 0
D´emonstration. Soit y = '(x) l’expression exacte de la relation r´eelle existant entre y et x. Les points exp´erimentaux s’´ecartent de cette relation par suite des erreurs in´evitables de mesure. Le th´eor`eme central limite 1 montre que les erreurs de mesure suivent g´en´eralement la loi normale 2. Supposons qu’il en soit ainsi, et choisissons une valeur xi de l’argument pour laquelle nous effectuons une mesure. Le r´esultat de cette mesure est l’´ev`enement Yi = yi o`u Yi est une variable al´eatoire r´epartie suivant une loi normale d’esp´erance math´ematique '(xi), et d’´ecart quadratique moyen i. L’esp´erance math´ematique '(xi) est le r´esultat que l’on trouverait s’il n’y avait pas d’erreur de mesure, et i
Date: 26 octobre 2010.
1. Voir Th´eor`eme central limite.pdf
2. Voir Loi normale.pdf
1
2 OLIVIER CAST´ERA caract´erise l’erreur de mesure. Supposons que l’erreur de mesure soit la mˆeme en tous points :
8i i =
La densit´e de probabili´e de la variable Yi s’´ecrit : fi(yi) =
1
p2 e−[yi−'(xi)]2/(22) Supposons que l’exp´erience qui est dans notre exemple une s´erie de me- sures, ait r´ealis´e l’´ev`enement consistant en ce que les variables al´eatoires
(Y1, Y2, . . . , Yn) ont pris les valeurs (y1, y2, . . . , yn). Nous devons choisir les esp´erances math´ematiques f(x1), f(x2), . . . , f(xn) de telle sorte que la probabilit´e de cet ´ev`enement soit maximale. C’est le principe dit
du maximum de vraisemblance . Les variables Yi ´etant continues, la