Simulations de Monte Carlo et calculs de performance
Janvier 2007

Introduction L’objet de cette note est d’éclaircir la manière dont doivent être calculées les performances (et donc les écart- types) des portefeuilles simulés par méthode de Monte Carlo. On regarde plus précisément deux niveaux : en input, est-ce que les paramètres que l’on insère rendent bien compte des résultats que l’on attend ? en output, les calculs des caractéristiques (performance moyenne, écart-types, VaR) des portefeuilles sont-ils cohérents avec nos attentes ? Dans toute la suite, sauf précisions, on se situe dans le cadre d’une loi normale pour les rendements de moyenne 7% et d’écart- type 15%. 1. Quels paramètres dans les modèles Black-Scholes ? Commençons par un exemple. Si nous simulons avec un pas dt et avec une hypothèse de R% de rendement annuel, sur une maturité T exprimée en années représentant N pas, nous obtenons le rendement capitalisé (1 + R * dt ) N . Or U = (1 + R * dt ) N > (1 + R) Ndt Ceci quelle que soit la maturité T>0. Le rendement annualisé Rann = (U)1/T-1 qui en découle est donc strictement supérieur à R le rendement souhaité. Si l’on prend R=7%, dt = 1/365, T = 1 an = 365 dt, on obtient un rendement de (1+7%*(1/365))365-1 qui annualisé (neutre ici car maturité de 1 an) donne 7.25% de rendement. Nous illustrons ceci sur divers horizons :
1 mois Rdt 22,47% 1 an Rdt 8,21% 3 mois 6 mois 9 mois 11 mois 12 mois éc. Type Rdt éc. Type Rdt éc. Type Rdt éc. Type Rdt éc. Type Rdt éc. Type 68,18% 11,92% 34,35% 9,43% 23,48% 8,62% 18,96% 8,32% 17,08% 8,21% 16,32% 3 ans 5 ans 7 ans 10 ans 15 ans éc. Type Rdt éc. Type Rdt éc. Type Rdt éc. Type Rdt éc. Type Rdt éc. Type 16,32% 7,40% 9,32% 7,24% 7,20% 7,17% 6,08% 7,12% 5,08% 7,08% 4,15%

Or nous souhaitons simuler ici un rendement annuel de 7%. Le modèle BS tel qu’utilisé cidessus ne permet donc pas de reproduire ce que l’on souhaite. Le modèle BS est la plupart du temps utilisé de manière discrétisée. Or comme illustré plus