Tle 1

FONCTION LOGARITHME

I ) Fonction logarithme népérien 1 ) Définition 1 La fonction x a est dérivable sur ] 0; + ∞ [ donc elle admet une primitive qui s’annule x pour x = 1 . 1 On appelle fonction logarithme népérien , notée ln , la primitive de x a définie sur x ] 0; + ∞ [ , qui s’annule pour x = 1 . Conséquences : • L’ensemble de définition de ln x est ] 0; + ∞ [ • x a ln x est dérivable sur ] 0; + ∞ [ et pour tout x de ] 0; + ∞ [ , ( ln x ) ' = ln' x = 1 x

• ln1 = 0 1 1 • ln' x = sur ] 0; + ∞ [ , > 0 donc x a ln x est strictement croissante sur ] 0; + ∞ [ . x x • x a ln x est dérivable et monotone sur ¡ + * donc c’est une bijection de ] 0; + ∞ [ sur ¡ . D’où x1 = x 2 si et seulement si ln x1 = ln x 2 avec x1 > 0 et x 2 > 0 . • x a ln x est croissante donc x1 < x 2 si et seulement si ln x1 < ln x 2 0 < x ≤ 1 si et seulement si ln x ≤ 0 1 ≤ x si et seulement si ln x ≥ 0 2 ) Propriétés algébriques de ln Pour tous réels a et b de ] 0; + ∞ [ , on obtient : a 1 ' ' = = ( ln x ) donc ln ax = ln x + C ; si x = 1 , • ln ( ab ) = ln a + ln b car ( ln ax ) = ax x ln a = ln1 + C = C donc ln ax = ln x + ln a b 1 1 1  • ln = − ln b car ln1 = ln = ln  b ×  = ln b + ln = 0 b b b b  a 1 1  • ln = ln  a ×  = ln a + ln = ln a − ln b b b b 
* • n∈ ¥

ln ( a n ) = n ln a

• ln a =

1 ln a 2

Exemples : 1 ) Résoudre dans ¡ l’équation suivante : ln ( 3 − x ) + ln 2 − ln ( 2x + 1) = 0 . 1  1  → D = Df =  − ;3 car 3 − x > 0 d’où x < 3 et 2x + 1 > 0 d’où x > − 2  2  Résolution de l’équation : ln 2 ( 3 − x ) = ln ( 2x + 1) , comme ln est une bijection : 2 ( 3 − x ) = 2x + 1 , 6 − 2x = 2x + 1 ,
− 4x = − 5 , x =

5 5  5 , ∈ D donc S¡ =   4 4  4

2 ) Résoudre dans ¡ l’inéquation suivante : ln x ( 3 − x ) ≤ ln 2 2 → Df = ] 0;3[ car x ( 3 − x ) > 0 Résolution : ln x ( 3 − x ) ≤ ln 2 , comme la fonction ln est une bijection croissante : x ( 3 − x ) ≤ 2 ou 3x − x 2 ≤ 2 ou − x 2 + 3x − 2 ≤ 0 x ' = 1 ou x '' = 2 −∞ +∞ x 1 2 2 − 0 + 0 − − x + 3x −