Méthodes d'intégrations numériques
1145 mots
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SOMMAIRE :I] Méthode des Trapèzes : ………………………………………………page 3
Principe Démonstration Majoration d’erreur Programmation Matlab
II] Méthode de Simpson : ………..………………………………………page 5
Principe Démonstration Majoration d’erreur Programmation Matlab
III] Méthode de Gauss-Legendre : ………………………………………page 7
Principe Démonstration Majoration d’erreur Programmation Matlab
IV] Méthode des Rectangles : …………………………………………page 11
Principe Démonstration Majoration d’erreur Programmation Matlab
V] Tableau Récapitulatif …………………………………………..…...page 13
On cherche à comparer différentes méthodes d’intégration numérique. Dans un premier temps, on se concentre sur trois méthodes de calcul d’intégrale :
- La méthode des trapèzes.
- La méthode de Simpson.
- La méthode de Gauss-Legendre.
Durant toute la suite de notre réflexion, on suppose une fonction f continue et positive sur un intervalle [a, b] dont on veut calculer l’intégrale :
I) Méthode des Trapèzes:
Principe : La méthode d'intégration approchée, dite des trapèzes, décrite par Newton & Cotes, consiste à remplacer l'arc de courbe MiMi+1 par le segment [MiMi+1] : c'est une interpolation linéaire. Si nous choisissons une subdivision régulière de l'intervalle [a,b] en n sous-intervalles [xi,xi+1] avec i variant de o à n : xo = a < x1< x2 < ... < xn = b, on a xi+1 - xi = (b - a)/n. La somme des aires colorées en jaune pointé représente une approximation J de l'intégrale I. Chaque aire est celle d'un trapèze de hauteur xi+1 - xi, de bases respectives f(xi) et f(xi+1).
On obtient ainsi la formule suivante :
Démonstration :
Considérons alors une subdivision de l'intervalle [a;b] de pas h.
Rappelons qu'une subdivision de pas h est définie par l'entier n tel que: h = et par la suite des réels
" a , a + h , a + 2h , ..., a + k.h , ..., a + n.h = b ".
Sur chaque intervalle [ a + k.h ; a + (k+1).h], où k est un