1-1 :

Parabole

Soit f la fonction définie sur  par f  x   x2  4 x  1 . 1. Étudier le signe de ce trinôme. 2. Dresser le tableau de variation de la fonction f et tracer sa représentation graphique que l’on notera (P) à l’aide de GeoGebra. 3. Pour tout nombre m réel, on considère la droite  Dm  d’équation y  2 x  m . a. Construire cette droite sur la figure précédente de telle sorte que l’on puisse faire varier le réel m. b. Déterminer graphiquement le nombre de point d’intersection de  Dm  et de (P) suivant les valeurs de m. 4. Discuter par le calcul le nombre de points d’intersection de  Dm  et de (P). 5. Donner les coordonnées du point d’intersection dans le cas où il est unique. 6. Lorsque  Dm  coupe (P) en deux points distincts Am et Bm , on appelle Im le milieu de  Am ; Bm  . Soit E l’ensemble des point Im quand m parcourt tout entier. a. Quelle semble être la nature de l’ensemble E ? b. Démontrer la conjecture précédente.

Première S TP informatique

1

F. Laroche

1-2 :

Second degré et optimisation

On considère un point M sur le diamètre  AB  d’un cercle. Il détermine deux cercles de diamètre  AM  et  MB  . On pose AB  4 et AM  x . Soit A  x  l’aire de la surface non colorée.

A

M

B

1. Réaliser une figure à l’aide du logiciel GeoGebra. 2. Conjectures : a. Quelle est la position du point M pour laquelle A  x  est maximale ? b. Existe-t-il une position de M pour laquelle A  x  soit strictement supérieure à la somme des aires des deux disques de diamètre  AM  et  MB  ? c. Quelles sont les positions (si elles existent) de M pour lesquelles A  x  est-elle inférieure à la moitié de l’aire des deux disques de diamètre  AM  et  MB  ? 3. Montrer que l’aire A  x  est définie par : A  x   4. Démontrer la conjecture de la question 2. a. 5. Justifier la conjecture de la question 2. b. 6. Déterminer les positions (si elles existent) de M pour lesquelles A  x  estt inférieure à la moitié de