Terminale S novembre 2004

Nouvelle-Calédonie

1 Exercice 1 (5 points)

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct [pic], on considère l’application f du plan dans lui-même qui, à tout point M d’affixe z associe le point M’ d’affixe z’ telle que :
[pic].
1. Soient A et B les points d’affixes [pic] et [pic].
a. Calculer les affixes des points A’ et B’ images des points A et B par f.
b. On suppose que deux points ont la même image par f. Démontrer qu’ils sont confondus ou que l’un est l’image de l’autre par une symétrie centrale que l’on précisera.
2. Soit I le point d’affixe −3.
a. Démontrer que OMIM’ est un parallélogramme si et seulement si [pic].
b. Résoudre l’équation [pic].
3. a. Exprimer [pic] en fonction de [pic]. En déduire une relation entre [pic] et [pic] puis entre [pic] et [pic].
b. On considère les points J et K d’affixes respectives [pic] et [pic]. Démontrer que tous les points M du cercle (C) de centre J et de rayon 2 ont leur image M’ sur un cercle que l’on déterminera.
c. Soit E le point d’affixe [pic]. Donner la forme trigonométrique de [pic] et démontrer à l’aide du 3. a. qu’il existe deux points dont l’image par f est le point E. Préciser sous forme algébrique les affixes de ces deux points.

2 Exercice 2 (5 points)

Cet exercice est un Q.C.M. Pour chacune des cinq questions une ou plusieurs réponses sont exactes.
Le candidat doit inscrire V (vrai) ou F (faux) dans la case correspondante.
Aucune justification n’est demandée.
Pour chaque question 3 réponses correctes rapportent 1 point, 2 réponses correctes rapportent 0,5 point.
[pic]
Soit ABCDEFGH un cube de côté 1. On choisit le repère orthonormal [pic]. On appelle I et J les milieux respectifs des segments [EF] et [FG]. L est le barycentre de {(A ; 1), (B ; 3)}. Soit (P) le plan d’équation [pic].
1. Les coordonnées de L sont :
|Propositions |a. [pic] |b. [pic] |c. [pic] |