Nombre complexe

850 mots 4 pages
NOMBRES COMPLEXES
(Partie 1)

Les nombres complexes prennent naissance au XVIème siècle lorsqu’un italien Gerolamo Cardano (1501 ; 1576), ci-contre, au nom francisé de Jérôme Cardan, introduit pour résoudre des équations du troisième degré.
En 1572, un autre italien, Rafaele Bombelli (1526 ; 1573) publie "Algebra, parte maggiore dell’aritmetica, divisa in tre libri" dans lequel il présente des nombres de la forme et poursuit les travaux de Cardan sur la recherche de solutions non réelles pour des équations du troisième degré.
A cette époque, on sait manipuler les racines carrées d’entiers négatifs mais on ne les considère pas comme des nombres. Lorsqu’une solution d’équation possède une telle racine, elle est dite imaginaire.
La notation i apparaît en 1777 siècle avec Leonhard Euler (1707 ; 1783) qui développe la théorie des nombres complexes sans encore les considérer comme de « vrais » nombres. Il les qualifie de nombres impossibles ou de nombres imaginaires.

I. L'ensemble

1) Définition

Définition : Il existe un ensemble de nombres, noté , appelé ensemble des nombres complexes qui possède les propriétés suivantes :
- contient .
- Dans , on définit une addition et une multiplication qui suivent les mêmes règles de calcul que dans .
- Il existe dans un nombre i tel que .
- Tout élément z de s'écrit de manière unique sous la forme avec a et b réels.

Exemples : ; ; sont des nombres complexes.

Vocabulaire :
L'écriture d'un nombre complexe z est appelée la forme algébrique de z.
Le nombre a s'appelle la partie réelle et la nombre b s'appelle la partie imaginaire.
On note et .

Remarques :
- Si alors z est un nombre réel.
- Si alors z est un nombre imaginaire pur.

Méthode : Effectuer des calculs sur les nombres complexes

Calculer et exprimer le résultat sous la forme algébrique.

Propriétés :
a) Deux nombres complexes sont égaux, si et seulement si, ils ont la

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