Nombre

Pages: 6 (1445 mots) Publié le: 26 février 2011
Terminale S Spe 2010-2011

Nombres Premiers
Théorème de Dirichlet (1805-1859)
Nous avons démontré qu'il existe une innité de nombres premiers (preuve due à Euclide). Le théorème de Dirichlet est le suivant : Si a et b sont deux nombres entiers premiers entre eux, avec a > 0, alors il existe une innité de nombres premiers de la forme an + b (n entier naturel). La preuve en est très dicile,les deux cas particuliers traités ci-dessous sont toutefois accessibles en TS. 1. Montrer que tout nombre premier > 2 est de la forme 4n − 1 ou 4n + 1 (n entier naturel). 2. Soit p un nombre premier > 2. On pose q = 22 × 3 × 5 . . . × p − 1 (le produit comprend tous les nombres premiers p). a) Montrer que tout diviseur premier de q est strictement plus grand que p. b) Montrer que q ≡ −1[4]. c)Montrer par l'absurde qu'au moins un diviseur premier de q est congru à −1 modulo 4. d) En déduire qu'il existe une innité de nombres premiers de la forme 4n − 1. 3. Montrer que tout nombre premier > 3 est de la forme 6n − 1 ou 6n + 1 (n entier naturel). 4. Soit p un nombre premier > 3. On pose q = 2 × 3 × 5 . . . × p − 1 (le produit comprend tous les nombres premiers p). En adaptant la preuveprécédente, démontrer qu'il existe une innité de nombres premiers de la forme 6n − 1.

Nombres de Fermat(1605 ou 1608 - 1665)
Les nombres de Fermat sont dénis par Fn = 22 + 1 (n entier 1). Gauss (1777-1855) a prouvé que, si Fn est égal à un nombre premier p, alors le polygone régulier de p cotés peut être construit à la règle et au compas. F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537 sont des nombrespremiers, et Fermat conjectura que tous les nombres Fn étaient premiers. Gauss, encore lui, montra que F5 est divisible par 641. A ce jour, on ne connait aucun nombre Fn premier au delà de F4 , on pense même que les nombres de Fermat premiers sont en nombre ni, bien qu'on n'en ait aucune preuve. 1. F5 n'est pas premier : la preuve de Gauss. a) Vérier que 641 = 54 + 24 . En déduire que 641 divise 54 ×228 + 232 .
n

b) Vérier que 641 = 5 × 27 + 1. En déduire que 5 × 27 ≡ −1[641], puis que 641 divise (54 × 228 − 1). c) Montrer enn que 641 divise F5 . k 2. Soit k un entier 0. Montrer que Fn+k − 1 = (Fn − 1)2 . En déduire que Fn+k ≡ 2[Fn ]. 3. Montrer que si m et n sont deux entiers > 0 distincts, alors Fm et Fn sont premiers entre eux.

Nombres premiers jumeaux
Deux nombres premiers pet q sont dits jumeaux si q = p + 2. On connait beaucoup de couples de nombres premiers jumeaux, on ne sait pas s'il sont en nombre ni ou pas. Dans tout ce qui suit, (p, q) désigne un couple de nombres premiers jumeaux (q = p + 2), avec p > 3. 1. Montrer que p et q sont tous les deux impairs. 2. Montrer qu'il existe un entier naturel n tel que p = 6n − 1 et q = 6n + 1. 3. Montrer que p ≡ 2[3]. 4.Montrer que p + 4 n'est pas un nombre premier.

Nombres parfaits, nombres de Mersenne(1588-1648)
Un nombre parfait est un entier naturel égal à la somme de tous ses diviseurs positifs autres que lui même. Si l'on note σ(N ) la somme des diviseurs positifs de l'entier naturel N , N est donc parfait si et seulement si σ(N ) = 2N . 1. Soit p un nombre premier, et N = pα . Ecrire tous les diviseursde N , et montrer
p1+α − 1 que σ(N ) = . p−1 2. Soit p et q deux nombres premiers distincts, et N = p2 × q 3 . Ecrire tous les diviseurs de N , et montrer que σ(N ) = σ(p2 ) × σ(q 3 ).

3. On admet le résultat suivant (qui généralise la question précédente) : Soit p1 , . . . pm m nombres premiers distincts, et N = pα1 × . . . pαm . On a alors 1 m σ(N ) = σ(pα1 ) × . . . × σ(pαm ). 1 mDémontrer alors que, si a et b sont deux entiers naturels premiers entre eux, alors σ(ab) = σ(a)σ(b). 4. Soit n un entier naturel non nul, on suppose que 2n+1 − 1 est un nombre premier. Montrer que N = 2n (2n+1 − 1) est un nombre parfait. 5. Soit N un entier naturel pair, que l'on supposera parfait. a) Montrer qu'il existe un entier naturel n et un entier impair b tel que N = 2n ×b. b) Montrer que σ(N...
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