23 septembre 2010

Mathématiques 2 Equations différentielles
M-A Dronne

PACES, Pôle Est, Lyon
1

Sommaire
ED du 1er ordre
A variables séparables Linéaires à coefficients non constants Linéaires à coefficients constants

ED du 2nd ordre
Linéaires à coefficients constants

Système d’ED
Du 1er ordre, linéaires, à coefficients constants
2

1

Définitions
Définition
Soit une fonction y d’une seule variable t. On parle d’équation différentielle quand on a une équation qui comprend la variable t, la fonction y et ses dérivées d’ordre 1 à n.

F t, y(t ), y' (t ),...,y( n ) (t) = 0

(

)

Remarque
Dans le cas d’une fonction d’une seule variable, on parle d’équation différentielle (ED) ou équation différentielle ordinaire (EDO). Dans le cas d’une fonction de plusieurs variables, on parle d’équation aux dérivées partielles (EDP).
3

Applications des ED
Physique
Mécanique Electricité Radioactivité

Chimie Pharmacologie
Pharmacocinétique (PK)

Bactériologie Epidémiologie Ecologie
4

2

Exemple d’application
Mécanique
Soit un point matériel M accroché à un ressort (en 1D). Soit x l’abscisse de M. x = x ' ( t ) : vitesse de M
•

x = x ' ' ( t ) = x ( 2) ( t ) : accélération de M

••

Soit les constantes suivantes : m : masse de M k : raideur du ressort γ : coefficient de frottement

Oscillations non amorties (équation harmonique) : m x = − kx
••

Oscillations amorties : m x = −γ x − kx
5

••

•

Exemple d’application
Croissance de population
Soit y une fonction de t représentant la densité d’une population Exemples de modèles
Modèle exponentiel : y' = µy Modèle logistique : y ' = µy 1 −

 

y  K

(µ, K ∈ R )
+∗

Applications
Bactériologie Ecologie Epidémiologie
6

3

Applications des systèmes d’ED
Pharmacologie
Modèles PK

Epidémiologie
Modèles SIR (« sains », « infectés », « retirés »)

Physique Bactériologie
Modèle de Monod

Ecologie
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Définitions
Soit une fonction