Mathématiques Appliqués
Formation ingénieur par apprentissage - 3 Année
Travaux Dirigés (TD)
Observateur d’état : Filtre de Kalman
L’objectif de ce travail dirigé est d’appréhender les concepts fondamentaux d’un observateur d’état, de l’instancier et d’analyser son fonctionnement. Ce document rappellera les équations du filtre de
Kalman et introduira comme application l’observation de l’état cinématique d’un robot.
1 Le filtre de Kalman
Considérons sous une représentation discrète, le système linéaire …afficher plus de contenu…

x(t− 1) est le vecteur d’état à un instant d’échantillonnage précèdent. Les variables α(t) est le bruit modélisant les erreurs du modèle d’évolution et β(t) représente le bruit associé au processus de la mesure. Nous assumons alors que le bruit dans le système linéaire est additive, centré et Gaussian avec des matrices de covariances connues, Q etR. α(t) ∼ N {0, Q} (2) β(t) ∼ N {0, R} (3)
Également, l’indépendance entre les bruits du modèle d’évolution et de la mesure est assumée ce qui implique une décorrelation :
E
[ α(t) · β(t)T
]
≡ 0 où E[·] représente l’opérateur d’espérance entre deux variables aléatoires.
A partir des considérations précédentes, le filtre de Kalman est un observateur/prédicteur …afficher plus de contenu…

RODRIGUEZ F. 1/ 3Il est important de constater dans le tableau Tab. 1 que la dimension de l’état du système et celle du vecteur d’observation sont indépendantes. Alors le modèle d’observation, H, peut n’est pas être une matrice carrée. Les vecteurs sont noté en minuscule et les matrices en majuscule. L’équation Eq. 1 est alors une équation vectorielle.
— Étape de Prédiction
A partir des conditions initiales au temps t = 0, l’état x(0|0) = x0 et la matrice de covariance