Planche no 19. Applications linéaires continues, normes matricielles
* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile I : Incontournable ***** très difficile

no 1 (*) : On munit E = R[X] de la norme

1) Vérifier brièvement que ∞ est une norme sur E. 2) Soit f l’endomorphisme de E défini par ∀P ∈ E, f(P) = XP. Démontrer que l’application f est continue sur (E, déterminer |||f|||. no 2 (**) : On munit E = ℓ∞ (C) le C-espace vectoriel des suites bornées de la norme u
∞ ∞

∞

définie par : ∀P ∈ E, P

∞

= Sup

P(n) (0) , n∈N . n!
∞)

et

= sup |un |. n∈N On considère les endomorphismes ∆ et C de ℓ (C) définis par :

∀u ∈ E, ∆(u) = v où ∀n ∈ N, vn = un+1 − un et ∀u ∈ E, C(u) = w où ∀n ∈ N, wn = Montrer que ∆ et C sont continus sur (E, no 3 (*** I) : On pose T :
∞)

1 n+1

n

uk . k=0 et calculer leur norme.
1 1

On munit E = C0 ([0, 1], R) de la norme 1 définie par ∀f ∈ E, f E → f → E Tf : [0, 1] x → R x =
0

|f(t)| dt.

et on admet que T est un endomorphisme de E. → f(t) dt
0

1) Démontrer que T est continu sur (E, 1 ) et déterminer |||T |||. 2) Vérifier que la borne supérieure n’est pas atteinte.   n no 4 (**) : On munit E = Mn (R) de la norme N définie par ∀A ∈ E, N(A) = Sup une norme sur E).

1 i n  j=1

|ai,j |

  

(on admet que N est

Soit f l’application de E dans R définie par ∀A ∈ E, f(A) = Tr(A). Démontrer que l’application f est continue sur (E, N) et déterminer |||f|||. no 5 (***) : Déterminer s = Sup AB , (A, B) ∈ (Mn (C) \ {0})2 A B quand est 1)
1,

2)

2,

3)

∞.

no 6 (*) : Une norme sur Mn (R) (n

2), est-elle nécessairement une « norme trois barres » ?

no 7 (**) : Soit N une norme sur Mn (R). Montrer qu’il existe k > 0 tel que ∀(A, B) ∈ (Mn (R))2 , N(AB) no 8 (**) : no 9 (***) : Existe-t-il une norme N sur Mn (R) (n On pose ∀X = (xi )1 n Mn,1 (R), X

k(A)N(B).

2) telle que ∀(A, B) ∈ (Mn (R))2 , N(AB) = N(A)N(B). n i

1

= i=1 |xi | et X