NOMBRES COMPLEXES
Démonstrations

Démonstration 01

(retour au cours)
Considérons
un nombre complexe s'écrivant de deux façons :
☎✝✆

✁ ✂ ✄ et ✞ ✟ ✠☛✡☛☞✍✌✎✡ ✏ , avec ✑✓✒✕✔✖✒✕✑☛✗✘✒✕✔✎✗ réels.
On a alors ✑ ✙ ✔✝✚ ✛ ✑☛✗☛✙✍✔✎✗ ✚ et on en déduit ✜✣✢✍✜☛✤✦✥★✧✪✩✬✫✎✤✭✢✍✫✦✮
Supposons que ✫ ≠ ✫✎✤ , on aurait alors ✧ ✥ ✜ ✢ ✜☛✤ ,
✫✎✤ ✢

✫

ceci n'est pas possible puisque ✧ ∉ IR alors que ✜ ✢ ✜☛✤ ∈ IR
✫✎✤ ✢

✫

On ne peut donc pas avoir ✫ ≠ ✫✎✤ , ce qui signifie que ✫✯✥★✫✎✤ .
Alors ✫✎✤✭✢✍✫ ✥ 0 et comme on sait que ✰✣✱✍✰☛✲✦✳★✴✪✵✬✶✎✲✭✱✍✶✦✷✹✸ on en déduit ✰✣✱✍✰☛✲ ✳ 0 c'est-à-dire ✰✺✳★✰☛✲ .
On a donc obtenu ✰ ✳ ✰☛✲ et ✶ ✳ ✶✎✲ .
Les deux écritures de ✻ sous la forme ✰ ✼ ✶✝✴ et ✰☛✲☛✼✍✶✎✲ ✴ sont donc identiques.

Démonstration 02

(retour au cours)
✻ ✳ ✰ ✼ ✶✝✴
Soient ✻ et ✻✭✲ deux nombres complexes : et ✻✭✲ ✳ ✰☛✲☛✼✍✶✎✲ ✴ , avec ✰✓✽✕✶✖✽✕✰☛✲✘✽✕✶✎✲ réels.
On a alors ✰ ✾★✿❁❀❃❂✬❄❆❅✹❇ ❈☛❉ ✾★✿❁❀❃❂✬❄✭❉ ❅ ; ❊ ❋★●❃❍✺■✬❏❆❑ ; ▲✎▼ ❋★●❃❍✺■✬❏✭▼ ❑
Si ❏◆❋❖❏✭▼ , alors € ◗ ▲✝❘ ❋ €☛▼❙◗❚▲✎▼ ❘ et comme la forme algébrique d'un nombre complexe est unique, on en déduit que € ❋ €☛▼ et ▲ ❋ ❯✎❱ ❲
Donc ❳ et ❳✭❱ ont la même partie réelle et la même partie imaginaire.
Réciproquement, si ❳ et ❳✭❱ ont la même partie réelle et la même partie imaginaire, alors ❨✺❩★❨☛❱ et ❯✯❩★❯✎❱ et par conséquent ❨ ❬ ✝❯ ❭ ❩ ❨☛❱☛❬✍❯✎❱ ❭ , c'est-à-dire ❳❪❩★❳✭❱

Démonstration 03
(retour au cours)
Si M a pour affixe ❳ ❩ ❨ ❬ ❯✝❭ et si M' a pour affixe ❳✭❱✦❩★❨☛❱☛❬✍❯✎❱ ❭ , avec ❨☛❫✕❯✎❫✕❨☛❱ ❫✕❯✎❱ réels, alors
M a pour coordonnées (❨ ; ❯ ) et M' a pour coordonnées (❨☛❱ ; ❯✎❱ ).
Les résultats vus en 1ère sur les coordonnées permettent d'écrire :
→
• MM' a pour coordonnées (❨☛❱ ❴ ❨ ; ❯✎❱ ❴ ❯ ),
→
donc MM' a pour affixe (❨☛❱ ❴ ❨ ) ❬ (❯✎❱ ❴ ❯ )❭ ❩ ❨☛❱✭❴✍❨❵❬✍❯✎❱ ❭❙❴✍❯✝❭✭❩★❨☛❱☛❬✍❯✎❱ ❭❙❴❖❛✬❨❵❬✍❯✝❭❝❜❞❩ ❳✭❱✭❴✍❳
→
→
• OM a pour coordonnées ❛✬❨✓❡✕❯✦❜ donc OM ❩ OM ❩
❨ ❢ ❣ ❤ ❢ puisque le repère est orthonormal.
→
• MM' a pour coordonnées (✐☛❥ ❦ ✐ ; ❤✎❥ ❦ ❤ ) donc
→
♠✬✐☛❥ ❦ ✐✎♥ ❢ ❣ ♠✬❤✎❥ ❦ ❤✦♥