Nombres complexes

I – Définition et représentation

Définition :
Un nombre complexe est un nombre de la forme x+iy avec x et y deux réels et i un nombre imaginaire tel que i² = -1.
L’ensemble des nombres complexes est noté ℂ. Les règles de calcul dans ℂ sont les mêmes que dans .

Théorème (admis) :
On munit le plan d’un repère orthonormal direct [pic].
A tout point M de coordonnées (x ; y), on associe de manière unique le nombre complexe x+iy.
Réciproquement, à tout nombre complexe x+iy on associe de manière unique le point M du plan de coordonnées (x ; y).
[pic]

Vocabulaire :
Le plan muni du repère [pic] est appelé plan complexe.
Le nombre complexe x+iy est l’affixe du point M et du vecteur [pic]. On écrit [pic] .
Le point M est l’image du nombre complexe x+iy.
Si z = x+iy avec x et y réels alors : • x est la partie réelle de z, notée Re(z) • y est la partie imaginaire de z, notée Im(z) • x+iy est la forme algébrique de z.
Tout point sur l’axe des abscisses est l’image d’un nombre complexe de la forme [pic] . Donc on a [pic]ℂ. L’axe des abscisses est l’axe réel.
Tout point sur l’axe des ordonnées est l’image d’un nombre complexe de la forme [pic]. L’axe des ordonnées est appelé axe des imaginaires purs.

Exemple :
[pic] ; [pic] ; [pic] ; [pic].
[pic]

Théorème : • Deux nombres complexes sont égaux ssi ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire. • Un nombre complexe est nul ssi sa partie réelle et sa partie imaginaire sont nulles.

Définition :
On considère un nombre complexe z de forme algébrique x+iy. Le nombre complexe x-iy, noté [pic] est le conjugué de z.
M’ ([pic]) est le symétrique de M (z) par rapport à l’axe des abscisses.
[pic]

II – Calculer dans ℂ

1) Somme et produit

Définition :
On considère deux complexes z et z’ de formes algébriques respectives x+iy et x’+iy’. • La somme de z et de z’ est le complexe z+z’ = x+x’+i(y+y’). • Si k est un réel, alors le