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STATISTIQUE IICHAPITRE 1 : ANALYSE COMBINATOIRE L'analyse combinatoire, fondée sur des formules de permutations, d’arrangements et de combinaisons possède d'importantes applications dans de nombreuses branches des mathématiques, comme par exemple le calcul des probabilités et des statistiques, où elles peuvent servir à compter le nombre de cas favorables et/ou possibles des événements d’une expérience aléatoire. Soient deux éléments a et b : Si (a , b) (b , a), on parle de disposition ordonnée. Si (a , b) (b , a), on parle de disposition non ordonnée. 1.1. PERMUTATIONS. Une permutation est une disposition ordonnée. Le nombre de permutations que l’on peut faire avec n éléments est : Pn = n ! = n (n-1) (n-2) … 2 1 Exemple : Le nombre de permutations que l’on peut faire avec trois éléments a, b, c est : P3 = 3 ! = 3 2 1 = 6 Ces 6 permutations sont : (a,b,c), (a,c,b), (b,a,c), (b,c,a), (c,a,b), et (c,b,a). 1.2. ARRANGEMENTS Un arrangement de p éléments choisis parmi n éléments est une disposition ordonnée de p de ces n éléments. On distingue les arrangements avec répétitions et les arrangements sans répétitions. 1.2.1. Arrangements sans répétitions C’est le nombre d’arrangements que l’on peut faire avec p éléments choisis parmi n éléments, chacun d’eux ne peut figurer qu’une seule fois dans le même arrangement. Le nombre d’arrangements sans répétitions est :
An
p
n! (n p)!
Exemple : Le nombre d’arrangements sans répétitions que l’on peut faire avec deux éléments choisis parmi trois éléments a, b, c est : 3! 3 2 1 2 6 A3 (3 2)! 1 Ces 6 arrangements sont : (a,b), (b,a), (a,c), (c,a), (b,c), et (c,b).
STATISTIQUES II
1.2.2. Arrangements avec répétitions C’est le nombre d’arrangements que l’on peut faire avec p éléments choisis parmi n éléments, chacun d’eux peut figurer plusieurs fois dans le même arrangement. Le nombre d’arrangements avec répétitions est : np Exemple : Le nombre d’arrangements avec répétitions que