Probabilité : recueil corrigés + exercices

Pages: 57 (14024 mots) Publié le: 5 juin 2011
Licence 3  Probabilités Exercices corrigés de TD
Cécile Mercadier, Johannes Kellendonk, Laurent Tournier Associés au cours de Stéphane Attal

Année universitaire : 2008-2009

Université Claude Bernard Lyon 1 Année universitaire 2008-2009

Probabilités

Feuille de TD 1
Dénombrement

Exercice 1
Trois cartes sont tirées d'un jeu de 52 cartes. Calculer les probabilités des événementssuivants : (i) Trois piques diérentes (vii) Trois as lorsque : (viii) Aucun as (ix) Trois cartes rouges (ii) Aucun pique (iii) Un pique et deux "non-piques" (vi) Trois cartes de familles (iv) Au moins un pique (v) Trois cartes de la même famille

1. 2.

On suppose que les cartes sont, l'une après l'autre, tirées au hasard et remises dans le On suppose que les cartes sont tirées simultanémentau hasard. Soit

jeu.

Exercice 2

1.

n

et

p

deux entiers non nuls.

De combien de façons peut-on répartir En déduire le cardinal de l'ensemble

p

enveloppes identiques dans

n

boîtes aux

lettres ?

2. 3.
n

E1 = {(x1 , . . . , xn ) ∈ Nn , x1 + . . . + xn = p}. Supposons p ≥ n. De combien de façons peut-on répartir p enveloppes identiques dans
boîtes auxlettres de sorte qu'aucune boîte aux lettres ne reste vide ? De quel ensemble De combien de façons peut-on répartir

4. 5. 1.

E2 (construit de façon similaire à E1 ) peut-on en déduire le cardinal ? p enveloppes distinctes dans n boîtes aux p

lettres ?

Exercice 3
de

Soit

n

et

deux entiers non nuls.

Déterminer le cardinal de l'ensemble des suites croissantes (au sens strict)de

p éléments p éléments

2.

{1, . . . , n}.
Déterminer le cardinal de l'ensemble des suites croissantes (au sens large) de

de

{1, . . . , n}.

Caractérisation d'une loi de probabilité

Exercice 4

X une variable aléatoire à valeurs dans N ou Z dénie sur l'espace de probabilité discret (Ω, P). Démontrer que sa fonction de répartition, notée FX , dénie par
Soit

∀ x ∈ R, FX(x) = P(X ≤ x)
vérie les propriétés suivantes :

1. FX

est croissante avec

limx→−∞ FX (x) = 0

et

limx→−∞ FX (x) = 1.

2. FX
plus

est continue à droite en tout point et admet des limites à gauche en tout point. De

3.

limy→x− FX (y) = P(X < x). FX caractérise la loi de X .
Soit

Exercice 5

bilité discret

X une variable aléatoire à valeurs dans N (Ω, P). Ondénit sa fonction génératrice par GX (s) = E(sX ) =
k∈N

dénie sur l'espace de proba-

P(X = k)sk .

1. 2. 3.

GX est bien dénie sur [−1, 1]. Montrer que GX caractérise la loi de X . 2 Supposons que X et X sont intégrables. Notons GX et GX les dérivées 2 seconde de GX . Montrer que E(X) = GX (1) et E(X ) = GX (1) + GX (1). l'expression de Var(X).
Montrer que

première et En déduire Correction feuille de TD 1

Référence
Introduction aux probabilités Delmas, Jean-Pierre Ellipses BU Maths 19.2 DEL

Rappel de cours : Dénombrement
 Le nombre d'applications d'un ensmble à p est n . dans lui-même  est

p

éléments vers un ensemble à

n

éléments

 Le nombre de permutations d'un ensemble à

n éléments  bijections de cet ensemble p éléments dans un ensemblen!. n! . = (n − p)! p
éléments dans un ensemble à

 Le nombre d'arangements injections  d'un ensmble à à

n

p éléments est An

 Le nombre de combinaisons  ou sous-ensembles  à

n

éléments (≥

p p) est Cn

n! = . p!(n − p)! E , c'est-à-dire, une expérience soumise possibles. Une réalisation ω , un élément de Ω ω qui réalisent A. P({ω}) = 1/card(Ω) s'appelle la

Rappel decours : Probabilités sur un ensemble ni
On convient de représenter une expérience aléatoire au hasard, par



l'ensemble des résultats

est aussi appelé expérience élémentaire. Un événement aléatoire Comme

A

est l'ensemble des expériences élémentaires



est ni, la probablité

probablité uniforme sur

ω

équiprobables. On a

P sur Ω dénie par Ω. C'est la probabilité...
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