Licence 3  Probabilités Exercices corrigés de TD
Cécile Mercadier, Johannes Kellendonk, Laurent Tournier Associés au cours de Stéphane Attal

Année universitaire : 2008-2009

Université Claude Bernard Lyon 1 Année universitaire 2008-2009

Probabilités

Feuille de TD 1
Dénombrement

Exercice 1
Trois cartes sont tirées d'un jeu de 52 cartes. Calculer les probabilités des événements suivants : (i) Trois piques diérentes (vii) Trois as lorsque : (viii) Aucun as (ix) Trois cartes rouges (ii) Aucun pique (iii) Un pique et deux "non-piques" (vi) Trois cartes de familles (iv) Au moins un pique (v) Trois cartes de la même famille

1. 2.

On suppose que les cartes sont, l'une après l'autre, tirées au hasard et remises dans le On suppose que les cartes sont tirées simultanément au hasard. Soit

jeu.

Exercice 2

1.

n

et

p

deux entiers non nuls.

De combien de façons peut-on répartir En déduire le cardinal de l'ensemble

p

enveloppes identiques dans

n

boîtes aux

lettres ?

2. 3. n E1 = {(x1 , . . . , xn ) ∈ Nn , x1 + . . . + xn = p}. Supposons p ≥ n. De combien de façons peut-on répartir p enveloppes identiques dans boîtes aux lettres de sorte qu'aucune boîte aux lettres ne reste vide ? De quel ensemble De combien de façons peut-on répartir

4. 5. 1.

E2 (construit de façon similaire à E1 ) peut-on en déduire le cardinal ? p enveloppes distinctes dans n boîtes aux p

lettres ?

Exercice 3 de Soit

n

et

deux entiers non nuls.

Déterminer le cardinal de l'ensemble des suites croissantes (au sens strict) de

p éléments p éléments

2.

{1, . . . , n}.
Déterminer le cardinal de l'ensemble des suites croissantes (au sens large) de

de

{1, . . . , n}.

Caractérisation d'une loi de probabilité

Exercice 4

X une variable aléatoire à valeurs dans N ou Z dénie sur l'espace de probabilité discret (Ω, P). Démontrer que sa fonction de répartition, notée FX , dénie par
Soit

∀ x ∈ R, FX